Почему кинетическая энергия пропорциональна скорости в квадрате, а не просто скорости?

Правильный ответ содержится в книге Курс общей физики Савельева, том 1, параграф 27. Энергия. Закон сохранения энергии.
Прочитайте. Там коротко и по существу.
Попробую пересказать суть.
Рассматриваются два тела: 1 и 2. Тело 1 движется со скоростью v. Про второе тело ничего не сказано. Допустим за время dt тело 1 совершает работу над телом 2: dA = f ds = f v dt, где f - сила, а ds - перемещение. Очевидно, что тело 1 совершает работу над телом 2 за счёт своей кинетической энергии: dA = - dT.
То есть dT = -f v dt
С другой стороны приращение скорости тела 1:
dv = -f/m dt просто из кинематики.
Умножим левую и правую часть этого выражения на mv
mv dv = -f v dt
А это то же самое что (внимание на правую часть)
mv dv = dT
А дальше просто проигнорируйте правую и левую часть. Конец