Как вы назовёте данный психологический механизм?

Этот механизм называется "эмпатия" или "сопереживание". 

Тут есть один момент: наблюдатель испытывает только и исключительно свои собственные эмоции, так как он представил себя на месте того, за кем наблюдал. Тот, за кем наблюдали, в любом случае будет чувствовать несколько другое. Разница может быть небольшая (например, в силе страха), а может быть кардинальная (вместо страха разочарование и печаль). Мы не можем чувствовать чужие эмоции, т.к. у каждого человека - свой способ их чувствовать и проживать. Мало того, мы не сможем даже представить, что чувствует другой человек, если сами такого опыта не имеем. Но в рамках своего жизненного опыта, вполне можем почувствовать свои эмоции, связанные с подобной ситуацией. 

Поэтому, прежде, чем предлагать помощь и утешение (поддержку) другому, есть смысл поинтересоваться у него, что с ним происходит и в чем он в этот момент нуждается. И дальше действовать уже исходя из его ответа. Иначе можно начать делать то, чего хотелось бы вам в схожей ситуации, но совершенно не подходит ему.