Я знаю один способ. Сначала показать, что рациональных чисел достаточно, чтобы выразить любое количество чего угодно в мире с любой малой погрешностью, как бы мала она ни была. Это просто. Допустим, что у нас есть куча соли, весом от 0 до 1 кГ. если нам нужна точность, скажем, 1 миллиграмм, мы разделим килограмм на миллион равных частей и посмотрим, сколько нужно их взять,чтобы выразить вес с заранее заданной точностью. Казалось бы, для любого веса всегда найдётся такое количество равных частей, на которые нужно поделить интервал между 0 и 1 кГ, что вес окажется в точности равен определённому количеству частей, не больше и не меньше.
А потом сказать, что есть такие веса которые не попадают точно на границу раздела деления килограмма на части, на сколько бы много мы не поделили этот интервал. И привести старое доказательство этого для диагонали и стороны квадрата.
Вот когда обыватель попробует включить понимание происходящего и не сойдёт при этом с ума- тогда можно считать что ему что-то объяснили.