"Современные математики" — слишком размытая характеристика, чтобы можно было дать ответ на вопрос.
Современный математик может быть хорошим педагогом, а может, увы, и не быть им. Среди математиков я встречал и тех, и других.
По существу, положительное рациональное число — это число, которое может быть получено из единицы путём операций сложения и деления на любое (натуральное) число частей. Добавив сюда все те же числа с минусом и ноль, мы получим все рациональные числа.
Иррациональное число — это такое (вещественное) число, которое не является рациональным. Примером служит диагональ квадрата с единичной стороной.