Чему нужно учить младшекурсников математических факультетов в XXI веке?

Хороший вопрос. Очевидно, что отвечать на него можно по-разносу, исходя из двух слоев вопросов.

Первый слой - в чем ограничения по предметам. В часах студента или в часах преподавателя? Вопрос связан с тем, что даже в статусных российских ВУЗах не так чтобы можно было обложить группу студентов хорошими (оставим за скобками вопрос о том, что это слово здесь значит) преподавателями по всем дисциплинам.

Второй слой - чего хочется на выходе. И вот этот вопрос в российской действительности очень больной для высшего образования вообще и для математики в частности. В текущей картине, когда значительная часть выпускников идет не в науку, а либо в образование (зачастую в репетиторство), либо в разную аналитику, либо в айти, разумно все же давать людям определённый набор навыков для этого. И, к слову, эти навыки (пед.подготовка, инструменты аналитики, айти) могли бы быть поактуальнее, чем их сейчас часто дают на неспециализированных факультетах. На всякий случай - я не имею в виду, что нужно всю программу строить из этих соображений, но просто не очень хорошо, когда твои выпускники не могут заработать на хлеб (и под хлебом я не аспирантскую стипендию понимаю).

Есть ещё один момент, кажущийся мне важным. Едва ли не главная польза от школьной математики для человека - развитие мышления. В быту значительная масса выпускников школы, ну правда, не будет использовать синусы и логарифмы. Но предмет меняет то, как работают мозги у людей. Даже у не самых успешных учеников. Аналогичные процессы идут и у младшекурсников. Я не очень верю в возможность массово выстроить такой развивающий мозги процесс в разговоре про когомологии или «стрелочки». А вот на интегралах - да.

На мой взгляд, в идеале младшие курсы должны делать две вещи: давать хорошую базу (скажем, мне в моих статьях время от времени приходится и какие-то диффуры решать, и интегралы брать в рамках программы первого-второго-третьего курса, но, конечно, это технические шаги) и создавать максимально широкую, как говорят некоторые коллеги, «область незнания» - создавать общее представление о разных областях математики (кстати, выбор актуальных областей математики в вопросе кажется мне не бесспорным), их методологии и важных результатах. В идеале - должна быть возможность пощупать это все руками, что-то сделать самостоятельно, но это уже тяжело.

Дальше начинаются сложные вопрос в том, какая пропорция и какой состав каждой части.

И да, в часто встречающихся претензиях про перерешивание тысяч интегралов есть своя доля правды. Это важный и полезный инструмент, но тут дело обстоит как с невероятно быстрым счетом. Удивительны люди, которые могут восьмизначные числа складывать в уме за пару минут. Но не совсем понятно, что с этим навыком делать, кроме как перед публикой выступать.