Школьная математика определяет прямую, как множество точек. Но как сумма нулей может стать бесконечностью?

Апории Зенона - XXI век. 😉 Впрочем, поскольку стараниями, то ли Герострата, то ли Юлия Цезаря, до нас дошла лишь небольшая часть апорий Зенона, да и то в пересказе оппонентов, возможно ещё сам Зенон задавался в точности этим же вопросом.

В данном случае вопрос "Как?" имеет множество ответов. Например, длина кривой (и, в частности, прямой):

, где f(t) - радиус вектор кривой, a и b - начальная и конечная точки сегмента кривой.

В процессе разбора этого выражения по всей математической строгости, в рамках той или иной парадигмы, можно понять, что при a == b, грубо говоря, для сегмента кривой состоящего из одной точки, L(f) == 0, при a < b, грубо говоря, для нетривиального сегмента кривой, L(f) > 0, а для неограниченных кривых, при b → ∞ L(f) → ∞.

Наиболее популярная парадигма - классический анализ, геометрия, теория множеств, в которой, грубо говоря, работают с "актуальными непрерывными кривыми" , с "актуальными бесконечными множествами" (счётное, континуум и др.). Эта парадигма существовала ещё до Зенона, но испытывала существенные трудности в части логической обоснованности. На настоящий момент, в рамках современной аксиоматизации теории множеств, геометрии и анализа, все проблемы с логикой  в этой парадигме решены (смотрите большинство других ответов на ваш вопрос).

Известная альтернативная парадигма - конструктивная математика (и конструктивный анализ), в которой, грубо говоря, работают с "потенциальной бесконечностью", т.е. если a, b и f(t) заданы конструктивным образом, скажем, в виде алгоритмов вычисления с заданной точностью, то можно построить алгоритм вычисления L(f). В этой парадигме проблем с логикой вообще не возникает, т.к. мы в своей жизни можем указать или увидеть лишь небольшое количество точек (гораздо меньше, чем атомов углерода на любом чертеже), да и то с весьма ограниченой точностью. Что, впрочем, не мешает нам решать любые задачи.

Так же, ещё с античных времён, для решения апорий Зенона в реальном физическом мире использовали атомистический подход. К сожалению, этот подход пока не слишком продуктивен. По крайней мере, практически все квантово механические построения основаны на непрерывных функциях в непрерывных координатах, т.е. с использованием одной из двух предыдущих парадигм.