Школьная математика определяет прямую, как множество точек. Но как сумма нулей может стать бесконечностью?

Не просто множество, а бесконечное множество.

При работе с бесконечными величинами могут появляться неожиданные результаты.

В алгебре применяют Пределы и Ряды.

Например, предел функции x/(x+1) при х, стремящемся к бесконечности, равен 1.

А сумма ряда (1 + 1/2 + 1/3 +1/4 + ... + 1/n) при n, стремящемся к бесконечности, сама стремится к бесконечности).

В геометрии смысл непрерывной линии (не только прямой, но и окружности, отрезка и т.д.) в том, что вы можете "ткнуть" в любое ее место, и поставить там точку, принадлежащую данной линии.

Поэтому линии определяют, как множество точек.