Можно ли сказать, что при плановой экономике население стало жить богаче, нежели при царском свободном рынке?

Буквально понятый вопрос не имеет корректного ответа, поскольку требует сравнивать состояние страны в принципиально разные исторические периоды, то есть с интервалом почти в 50 лет.

Например, Россию в 1913 г. до начала I Мировой войны и СССР в 1955-1960 гг. после окончания восстановления от разрушений II Мировой войны и полноценного перехода к мирной, обычной жизни. Но за такие большие промежутки времени экономика существенно развивается, и жизнь населения в целом обычно меняется к лучшему во всех странах. Подобные исторически накапливающиеся по всему миру улучшения трудно отделить от достижений или провалов системы управления конкретной страной.

Но можно сравнить положение отдельной страны по качеству и условиям жизни населения с другими странами мира в разные исторические периоды – вот тогда станет ясно, к чему приводила деятельность властей этой страны, к улучшению жизни народа или к ухудшению.

Ранее я уже ответил на близкий по смыслу вопрос: https://yandex.ru/q/question/mozhno_li_kak_to_obektivno_sravnit_uroven_d1141dfe/

Существуют рейтинги, сопоставляющие страны по «индексу человеческого развития» (ранее его переводили как «индекс развития человеческого потенциала») и отражающие: (1) производство на душу населения, (2) уровень образования, (3) среднюю продолжительность жизни – см. подробнее: https://ru.wikipedia.org/wiki/Индекс_человеческого_развития

Специализированный британский сервис «Our World in Data» при Университете Оксфорда представляет научно обоснованную статистику или количественные экспертные оценки по странам мира в открытом доступе, в том числе по «индексу человеческого развития». Вот по ссылке сравнение России (Советской России и нынешней Российской Федерации) с соседними Польшей, Турцией и Китаем, а также с Францией и Великобританией (там можно выбрать и любые другие страны для сопоставления): https://ourworldindata.org/grapher/human-development-index-escosura?country=GBR~RUS~FRA~POL~CHN~TUR

Как видно на графике, по «индексу человеческого развития» Россия сильно уступала Франции, Великобритании и даже Польше (но превосходила Турцию и Китай) вплоть до примерно 1929 г. (до начала советской индустриализации). Но к 1970 г. Советская Россия уже почти сравнялась с Францией и Великобританией, превзошла Польшу и продолжала сильно опережать Турцию и Китай. Ну а современная РФ в 2015 г. вновь (как и до 1917 г.) сильно уступает Франции, Великобритании и даже Польше, но теперь её уже практически догнали Турция и Китай.

Итак, британские учёные однозначно свидетельствуют о том, что Советская Россия к моменту её максимального социально-экономического развития (накануне «застоя», последующих попыток реформ и краха 1990-х гг.) не только в огромной степени превзошла по уровню и качеству жизни населения дореволюционную Россию. Впрочем, те же тенденции наблюдались и в странах Запада, или «свободного рынка», где во второй половине XX в. резко выросли уровень и качество жизни населения. Главное то, что Советская Россия к 1970 г. по «индексу человеческого развития» (0,50 в 1970 г.) практически вплотную приблизилась к Франции и Великобритании (0,53 и 0,53). Ну а Россия со «свободным рынком» отставала от них как в 1913 г. (соответственно 0,12 и 0,28 во Франции, 0,33 в Великобритании), так и в 2015 г. (0,57 в России, и 0,76 в Великобритании, 0,82 во Франции).