Число е появилось относительно поздно, в довольно сложных уже моделях, изучали его продвинутыми методами анализа — оно родилось в математике, а не в физике. А математика к тому времени уже оторвалась от физики. При этом могло, в принципе, случиться так, что знаменитым стало бы не число е, а скажем, корень из е. Но для многих математических моделей удобнее использовать именно е. Скорее всего, этим объясняется, что именно оно закрепилось в традиции. Исторически сложилось, что число е имеет математический смысл, а не физический.
Выбор постоянных подвержен все-таки некоторому произволу. То, что мы пользуемся числом ПИ — тоже результат традиции. Математика могла сложиться так, что специальное обозначение получило бы не отношение длины окружности к диаметру, а отношение длины окружности к радиусу. На развитие математики это не сильно бы повлияло, но некоторые формулы выглядели бы иначе, а число 3,1415... не было бы таким знаменитым и никто бы не считал кучу его знаков после запятой.
Тем не менее, число е может встречаться в законах реального мира. Например, центральная предельная теорема описывает очень многие явления. (Она говорит, что сумма многих независимых случайных одинаково распределенных величин имеет нормальное распределение.) Казалось бы, для описания нормального распределения требуется число е; но корень из е тоже бы подошел, может быть, даже еще лучше. Нельзя сказать, что здесь можно получить физический смысл числа е из ЦПТ. Скорее, наоборот — нормальное распределение стали выражать через е, потому что уже привыкли к этому числу.
Интересно и другое - связь числа Е с Пи и с Ф (золотое сечение)
Лучший ответ по сути вопроса!
По-видимому, физический смысл математических констант {e, pi, log2(e)} возникает только при наличии таких понятий, как {время = движение, пространство, информация = материя}, соответственно.