Соглашусь, что Битрикс24 может быть отличным вариантом. Это и чат на сайте и чат на странице выдачи в Яндексе. И чат интегрирован с CRM, так что ваши любые переписки с клиентами будут преобразовываться в лиды. Кроме того на https://apik-it.ru/services/bitriks24/razrabotka-prilozheniy-dlya-bitriks24/ можете почитать про разработку дополнительных приложений для Битрикс24, чтобы оптимизировать систему конкретно под нужды вашего бизнеса.
Например мы пользуемся deski.ru
Довольным выбранным вариантом. Есть все необходимо для работы.
До этого пробовали другие варианты, но в итоге остановились на этом варианте