Это, как раз, просто. Через вот такую табличку:
Положительным числам соотносим нечетные, а отрицательным четные.
По такому правилу мы всегда сможем каждому целому числу сопоставить соответствующее натуральное и, таким образом, "пересчитать" все целые числа.
ℕ(2n) ℤ+ ℕ(2k+1) ℤ-
2 1 1 -1
4 2 3 -2
6 3 5 -3
8 4 7 -4
10 5 9 -5
12 6 11 -6
14 7 13 -7
16 8 15 -8
18 9 17 -9
20 10 19 -10
Визуально это можно представить в виде таблички или "дерева" -- разницы никакой.
Другой вариант. Целые числа конструируются из натуральных через упорядоченные пары таким образом, что для двух упорядоченных пар (a,b) и (c,d) соблюдается отношение эквивалентности (a,b) ~ (c,d) такое, что a+d = b+c (т.е., 1-2 = 4 -5, например).
Таким образом, 1 представляется упорядоченной парой (1,0), двойка -- упорядоченными парами (2,0), (3,1) . В отрицательных числах порядок меняется. Соответственно, все целые числа можно записать вот такой таблицей упорядоченных пар натуральных чисел:
(0,0)[0] (1,0)[1] (2,0)[2] (3,0)[3]...
(0,1)[-1] (1,1)[0] (2,1)[1] (3,1)[2]...
(0,2)[-2] (1,2)[-1] (2,2)[0] (3,2)[1]..
(0,3)[-3] (1,3)[-2] (2,3)[-1] (3,3)[0]...
Итак, что здесь происходит? В круглых скобках дано конструктивное определение целых чисел из натуральных: как мы можем _сконструировать_ целые числа, имея в наличии только числа натуральные. Каждое целое число -- это вот такая пара натуральных в круглых скобках, получающееся вычитанием второго члена в круглых скобках из первого. В квадратных скобках я указал соответствующий целочисленный резлуьтат такого вычитания. Итак, мы получили вот такой вот бесконечный список пар. А теперь представьте, что мы каждую из этих пар нумеруем: "первая пара чисел", "вторая пара чисел", "третья пара чисел", "четвертая пара чисел" (и т.д.) в принципе закрывая глаза на то, что написано внутри круглых скобок.
Из чего получаем два вывода:
- Множество натуральных чисел (причем, неважно, включаем мы ноль во множество натуральных или нет) равномощно множеству целых.
- Множество натуральных чисел равномощно не только множеству целых, но и множеству всех возможных конструктивных определений каждого целого числа.
Совсем простой пример, т.с., бытовой.
- Представим, что каждое отрицательное число -- это долговая расписка, а каждое положительное -- это вексель, чек или банковский билет. Т.е., первая -- бумага, по которой мы должны, вторая, -- по которой нам должны. Т.е., -1 рубль, - 2 рубля и т.д.
- Но на каждую бумагу мы можем наклеить соответствующий номерок и никогда не наступит ситуация, когда у нас не окажется "номерка", который мы могли бы наклеить на соответствующую бумагу.
Это упрощенное бытовое объяснение первого варианта, но ко второму варианту, всё-таки, надо приходить: чтобы полностью объяснить равномощных множеств, нужно показать, как они в явном виде конструируются и не ограничиваться только аксиоматикой.