Вообще говоря, доказательство, доступное школьнику, приведено в прошлом ответе, повторяться не буду, но дополню методически.
Кажется, что начинать стоит с определения счётного множества как множества, элементам которого можно сопоставить номера (да, это то же самое, что равномощность N, но воспринимается легче). Дальше доказать, что Z - счётное (см выше) и как вишенку на торте предъявить тот факт, что N и Z равномощны и удивиться этому контринтуитивному результату!
Объяснить, что интуиция вообще подводит часто, но на бесконечности интуиция подводит почти всегда. И вот тут, пока глаза ещё круглые, доказать счётность множества рациональных чисел.
Множество всех целых чисел равномощно множеству натуральных чисел.
Отображение F: N -> Z
F(2n) = n, n = 1, 2, ...,
F(2n+1) = -n, n = 0, 1, 2, ...,
является биекцией множества натуральных чисел N и множества целых чисел Z.