На каких основаниях построены те разделы математики, которые никак не привязаны к объектам реального мира?

Вижу много прекрасных ответов по делу, даже с большими, сложными объяснениями! Но попытаюсь дать относительно короткий и максимально простой и понятный ответ.

Итак, совсем коротко - математика в целом (не только разделы, не привязанные к объектам реального мира) построена на абстракциях, т.е. "воображении".

Как таковые "объекты реального мира" - это лишь результат восприятия человеком этих объектов.

Математика - абстрактный, "воображаемый" инструмент, придуманный человеком для описания того, что человек воспринимает или воображает.

Я потому выделил жирным шрифтом слова выше, что это чрезвычайно важно понимать, что математика изначально придумана мозгом человека, она - результат фантазии человека, и она основана не на некой "настоящей реальности", а на восприятии реальности человеческим мозгом, а мозг может и сам придумывать что-то, что вполне может описывать математика.

Что делает математику математикой? Непротиворечивость всех различных формул, расчётов на их основе и так далее.

Но, что бы новое ни придумывалось в математике, это всегда по сути фантазия, выдумка человека. Но если нечто воображаемое непротиворечиво описывается формулами, то есть, можно провести расчёты разными способами, перепроверить их и всегда получить одинаковый результат, значит, данная конкретная математика "правильная", даже если мы уже не можем взять некие реальные объекты, обмерить рулеткой, например, и сравнить "реальность" с математическими расчётами.

Собственно, на этом "относительно короткий ответ" заканчивается. Ниже - немного более или менее простых примеров.

У нас есть 3-мерное пространство, которое вполне доступно всем для изучения и математических расчётов. Мы можем измерить предмет, описать его формулами. Но так же мы можем представить 10-мерный мир (ну, собственно представить его почти невозможно, но мы можем допустить что такой мир может существовать), и описать формулами и его. И если формулы 10-мерного мира позволят в нём находить расстояния между точками, рассчитывать объём и так далее, и все расчёты будут сходиться, не противоречить друг другу - значит, математика 10-мерного пространства корректна и имеет право на существование, независимо от того, существует ли 10-мерное пространство на самом деле или нет. И многомерные расчёты уже нашли своё применение в физике!

Также, в настоящее время цифровые технологии привели к появлению цифровых представлений информации, например, о звуке, изображении. Математика позволяет с помощью своих инструментов обрабатывать звук, изображение, и сам процесс математических расчётов может не иметь смысла в "реальном мире", но результат такой обработки наглядно виден (в случае, скажем, изображения), когда, например, изображение становится более чётким, или с более насыщенными цветами, или удаляется шум с фотографии.

Внутренние процессы расчётов абстрактны и основаны на "фантазии" математиков, а результат расчётов вполне нагляден!