Хорошо сформулирован, на мой взгляд, в последней фразе общий так называемый открытый вопрос.
Постараюсь по мере сил ответить.
По Эйнштейну наука, любая, в том числе и математическая, имеет дело с свободно в рамках последующей проверки = верификации опытом и наблюдениями, свободно формируемыми понятиями. По Гильберту математика испытывает приток проблем и их явные формулировки из двух источников - опыта (инженерного дела, физики, химии, биологии) и непосредственного движения разума в постановке общезначимых задач, привлекающих внимание и на длительные сроки большей части профессионального математического сообщества. Не буду приводить общеизвестные примеры.
Ограничусь моей собственной практикой.
В самой первой моей печатной работе из сборника студенческих научных работ МГПИ им.В.И. Ленина (ныне МПГУ) я взаимно однозначно сопоставил гипердереву (непустому гиперграфу с попарной достижимостью вершин вдоль наличествующих гиперцепей, но без гиперциклов, то есть с однозначностью всех попарно соединяющих вершины гипергеодезических гиперцепей без гиперррёберных повторов) специальную комбинацию (термин "комбинация" как и само понятие комбинации принадлежит в полной общности так же мне - Л.К. - но об этом позже) под названием "лепестковое образование" (сокращённо - л.о.).
В моей единственной изданной книжке "Псевдопорождаемые двухиндексные последовательности" я обобщил / соединил ряд естественно возникающих в математике двухиндексных последовательностей в единую схему, а именно. Различные числовые и функциональные последовательности, возникающие как коэффициенты полиномиальных базисов = строчных индикаторов в моей терминологии, так и в виде просканированных слева направо и при фиксации положения сверху вниз вдоль столбцов, точнее столбцовых производящих экспоненциальных рядов = столбцовых энумераторов, соответственно. Кратое резюме для профи, проявивших возможный интерес - см. РЖ Мат, 1990, 1В380К, см. также за тот же год - реф. 6В374 с кратким предварительным наброском в издательстве (мехмата) МГУ.
Наконец, при первой по хронологии попытке аксиоматического подхода к перечислению = перечислительной комбинаторике в смысле, допустим, двухтомника Р.П. Стенли, основные понятия, в том числе ключевое понятие комбинации (см. неск. выше), производные от него понятия системы и класса комбинаций, множества орбит, перечисляющей последовательности (класса комбинаций) и её представления в виде частично-рекурсивной функции (первоначально я использовал терминологию тьюринговотй машины как одной из схем эффективной вычислимости) - всё это "зарыто" в ряде источников, в основном в РЖ Мат, 1988, 1В536, к сожалению в сильно усечённом при редактировании виде, причём отнюдь не по инициативе и не по вине автора.
Возможно при наличии минимального интереса кого-либо из Коллег по Сообществу продолжу ответ на, повторяю, интересный и мне лично весьма полезный вопрос господина Арутюнова.
Л.К.
Очень трудно писать о тех понятиях, что сам вводил в математику, дело не в робости и прочем. Просто всплывают мысли о недоделках и недочётах, от которых потом трудно уходить для возобновления текущей работы.
К.