А давайте придумаем новую формулу прямо здесь и сейчас :). И посмотрим, как именно это происходит.
Вот квадратная табличка 2022х2022, заполненная числами.
Представьте, что вы терпеливо сложили все числа в этой таблице. Сколько получилось?
У нас есть задача, повод для поразмышлять — с этого и должно всё начинаться.
У меня вот терпения не хватит не только на то, чтобы все числа сложить, но даже на то, чтобы все их выписать. Здесь явно нужна формула. Её не так просто вывести, поэтому начнём с начала — с разных квадратов в левом верхнем углу. Посчитаем сумму чисел в пяти первых квадратах:
Что произошло? Вместо одной задачи — про квадрат 2022×2022 мы построили серию задач, про квадраты 1×1, 2×2, 3×3, 4×4, 5×5, … Так мы получили поле для экспериментирования. Поэкспериментировали, порешали эти простенькие задачи «наугад», еще не зная, к чему это приведет.
В результате экспериментов получили числовую последовательность.
Теперь можно анализировать результаты эксперимента. Есть идея?
В этом месте должно произойти чудо — в этой последовательности надо заметить закономерность.
Что ж, очень похоже на последовательность кубов натуральных чисел.
Мы выдвинули гипотезу. Если она верна, то задача с табличкой решится мгновенно. Если нет, надо думать дальше.
Как доказывать гипотезу, пока непонятно. Попробуем её проверить на чуть более сложном примере — на квадрате размера 6×6.
Есть много разных способов сосчитать сумму чисел в этом квадрате. Самый простой — загнать табличку в excel и применить специальную функцию суммирования. Но этот способ не поучительный и не чудесный. Нам нужен способ чудесный — такой, чтобы обобщался на произвольный размер. Выделим жёлтым шесть шестёрок на диагонали, их сумма равна 6×6. Остальные 30 чисел разобьём на пары, симметричные относительно этой диагонали. Некоторые пары тоже раскрашены, каждая в свой цвет. Получилось 15 пар, сумма в каждой равна 12, поэтому их сумма равна 12×15, или 6×30. Сумма чисел во всем квадрате — это 6×6+6×30, или 6×36, или 6³.
От этой проверки две пользы:
1) Гипотеза о том, что суммы чисел в квадратах образуют последовательность кубов, не опровергается.
2) Поленившись считать всё подряд, мы придумали способ подсчёта, который обобщается на другие числа.
И правда, посмотрим на таблицу размера n×n.
На жёлтой диагонали стоят n чисел n. Остальные n²-n чисел разбиваются на (n²-n )/2 пар, в каждой паре сумма равна 2n. Поэтому сумма всех чисел в таблице есть
n×n+( n²-n )/2×2n= n×n+( n²-n )×n= n³.
Мы доказали гипотезу и вывели формулу для суммы чисел в квадратной таблице n×n. Осталось подставить n=2022.
Какие главные этапы можно выделить выводе новой формулы?
1. Поставить задачу.
2. Вписать задачу в более широкие рамки.
3. Поэкспериментировать с разными случаями.
4. Проанализировать результаты эксперимента.
5. Чудо: увидеть закономерность.
6. Выдвинуть гипотезу.
7. Чудо: увидеть идею для обоснования.
8. Доказать гипотезу.
В учебниках мы обычно видим только этапы 6 и 8 — формулировка и доказательство теоремы. Формального рецепта для чуда нет, но ему могут помочь опыт, знания, дополнительные эксперименты. Чудо происходит в любом творческом акте — в поэзии, в кулинарии или воспитании детей; математика — не исключение. Бывает полезно «отпустить» задачу, отвлечься, и идея придет внезапно, когда её совсем не ждёшь. Но этому должны предшествовать напряжённые размышления. Многие считают, что наш мозг всё равно продолжает работать над задачей, даже когда мы оставили сознательные попытки её решить.
Своими руками. Выведите какую-нибудь интересную формулу для таблицы Пифагора:
Незадача Кью.
Решение задач по математике
Перейти на yandex.ru/q/loves/7b65a89f-f3fa-4aac-9d7b-824b66b44f01
всё верно. Формулы - это замеченные закономерности. Простые можно заметить почти сразу. Ну а сложные, конечно... Читать дальше
Чтобы так делать, нужно хорошо понимать смысл уже существующих формул и теорем. Тогда можно будет абстрактно придумывать, что и как нужно сделать, чтобы получить определенный результат.
Однажды мой преподаватель матанализа... Читать далее
ДВА ПРИМЕРА — ДВА ОТКРЫТИЯ.
ПРИМЕР1
В школе моя стихия была - геометрия. Как то в летние каникулы я задумался вычислить объем тора(бублика). Через несколько дней я самостоятельно подошёл к интегральному исчислению. Я дам вам... Читать далее
Как-то в школе я очень внимательно смотрел на формулу коэффициента полезного действия. Учительница физики, советской школы со способностью следить за взглядом всех сорока учеников, спросила. -В чем дело?
-На формулу вероятности... Читать далее
Обычно формулы и уравнения выводят, но если в случае с ЕГЭ, то и придумывают.
Для начала вам нужно понять что вы можете что-то одно ассоциировать с чем-то другим, абстрактным.
Например, вы считаете яблоки, вам даже не нужно... Читать далее
Да, вы меня правильно поняли, и я хотел бы, чтобы вы привели ещё примеры посложнее, если не трудно.
Первый
Я тебе сам создам формулу.
А давайте придумаем новую формулу прямо здесь и сейчас :). И посмотрим, как именно это происходит.
Надежда Шихова
Да, она мне подала идею)
Окей, сначала надо придумать, для чего будет эта формула. Я... Читать далее
Их не надо придумывать, их надо выводить)
Самое главное - не пытаться решить всё "здесь и сейчас". Подумали на вопросом на сколько хватило - хоть час, хоть 5 минут. И забить можно, или потупить и вернуться к вопросу.
И... Читать далее
Норм!
Л.К.
Л.К.
Например, постоянным поиском закономерностей у разных числовых множеств.
Привожу пример: https://disk.yandex.ru/d/U8cSLUPWLFgLFw.
Теоремы № 51 и № 54 я нигде не публиковал, поэтому и не показываю здесь.
Корольчук В.И.... Читать далее
Я Вам подскажу как придумывать сложные уравнения, которые имеют по крайней мере одно целочисленное решение. Итак, квадратное, пусть ответом будет например 7; 5*7^2-12*7=5*49-84=161. Тогда уравнение будет выглядеть так: 5*x^2-12... Читать далее
Дополнение 1.
Поскольку уважаемые - сначала госпожа Н.А. Шихова прямо здесь же на портале, затем господин Дм. Бычков прямой ссылкой в Дзен - оба указанные Отвечающие дали положительные содержательные примеры к своим ответам, в... Читать далее