Как в математике понимается бесконечность?
Например, у нас есть множество натуральных чисел, на обыденном языке мы говорим, что натуральных чисел бесконечное количество или мощность этого множества не принадлежит ему же, хотя это уже ближе к самой математике. Что это значит с точки зрения математики, как в ней задается такое множество, которое содержит «бесконечное» число элементов? Как строятся те объекты, которые мы сможем охарактеризовать как бесконечные?
Бесконечность - понятие, принадлежащее мозгу для упрощения работы с чрезвычайно большими количествами.
В математике следует разделять "бесконечные множества" и, например, "бесконечные длины". Определение того, какое множество называется бесконечным дано в соседнем комментарии, который несправедливо заминусовам.
"бесконечная длина", например, это длина, которая больше любой конечной длины. То есть если мы можем сказать что-то в духе, что прямая имеет длину больше ЛЮБОЙ наперед заданной - значит она имеет бесконечную длину.
Также следует разделять понятия потенциальной бесконечности (бесконечности как процесса) и актуальной бесконечности. Например, потенциальная - это бесконечная длина, а актуальная - количество точек в отрезке.
Бесконечности в рамках количества точек множества бывают разными, причем бесконечностей бесконечно много. Бесконечность как длина, например, совершенно единственная.
Кроме этого в геометрии возникают также иногда идеи ввести достижимые бесконечо удаленные точки (как, например, концы прямых). В таком случае, часто возникает такое понятие как компактификация. Компактификации могут быть различными. Например, для широкого класса топологических пространств всегда существует одноточечная компактификация Александрова, которая подразумевает, что мы можем добавить "бесконечно удаленную точку", чтобы пространство стало компактными. Однако, напрмиер, для той же прямой можно добавить не одну, а две бесконечо удаленные точки - получится другой компактифицированный объект. К плоскости, например, можно добавить одну бесконечо удаленную точку, тогда она окажется изоморфна сфере, а можно добавить целую окружность и получить проективную плоскость.
Так что в каждом отдельном случае, то, что вы подразумеваете под "бесконечностью" может носить совершенно разные смыслы.