Какие задачи перед собой ставит современная математика?

В начале 21 века математика оказалась на новом рубеже. В 20 веке было две основные тенденции, одна тенденция была заведена Давидом Гильбертом, который на математическом конгрессе в Париже в 1900 году сформулировал 23 проблемы, которые должны были очень сильно продвинуть развитие математической науки. В значительной мере это так и произошло. Гильберт осознал, что в основу математики будет положена алгебра. 

Но была и альтернативная программа. Она была предложена Пуанкаре, выдающимся французским математиком, физиком-теоретиком и философом. Так вот, по мысли Пуанкаре, в основе математики будущего должна лежать геометрия, геометрические представления. На мой взгляд, математика пошла не путем, о котором говорил Гильберт, а путем Пуанкаре. Более того, в значительной мере именно этот путь привел к одному из главных открытий 20 века – к открытию компьютеров. По сути дела, до того, как компьютеры создали специалисты по электронной технике, они были осмыслены Джоном фон Нейманом. Математика, как оказалось, имеет огромную конструктивную роль, то есть, хотя она не имеет дела с чем-то материальным, а имеет дело с абстрактными сущностями, роль ее в 20 веке оказалась совершенно громадной.

Здесь еще одна очень интересная вещь: мы считаем математику наукой. Но вот для меня, например, было очень любопытно то, что во многих американских университетах математические факультеты находятся в отделениях искусства. В математике есть внутренняя логика. Например, простейшая вещь, если Кант полагал, что математика – это истина в последней инстанции, то после открытия евклидовой геометрии стало понятно, что геометрий может быть много. Может быть геометрия, где сумма внутренних углов равна 180 градусам, как мы учим в школе, может быть в которой больше, меньше, и так далее. По сути дела, математика – это такое искусство, произведения которого иногда имеют отношение к реальности. 

И здесь получаются две вещи: мы можем идти от внутренней логики математики, а можем идти от тех задач, которые возникают и которые пытается осмыслить математика. В свое время перед Гольбахом была поставлена такая задача: любое четное число представить в сумме простых чисел. Эта задача до сих пор стоит перед математиками, ее можно было сравнить с вершиной Эвереста, на которой математики передвигались, методично двигаясь все ближе к вершине. Таких проблем существует целый ряд. Не ясно пока, могут ли эти проблемы, такие как, например, решенная великая теорема Ферма о том, что у целых чисел N+Y=Z^n, имеется решение, только когда Z=2. Гигантская теорема, если мы посмотрим, чтобы доказать ее, потребуется 10 000 страниц. Тем не менее, пока не ясно, как это использовать. 

Сейчас в математике происходит принципиально важный момент. Вот если раньше Ньютона математика, анализ бесконечных данных, производные, интегралы, они находились в центре математического мировоззрения, то сейчас происходит переход к математике дискретной, к натуральным числам. То есть это – задача криптографии, в огромном смысле это – такие задачи, которые поставили перед нами информационная эра. Сейчас математика стремительно развивается именно в этом направлении. 

Более того, на мой взгляд, ничто так не полезно для любой науки и для математики в частности, как размышление над вечными, неразрешимыми проблемами. В математике более 20 веков стояла проблема разделения произвольного угла, с помощью циркуля и линзы, на равные части. Это задача была доказана неразрешимой только в 19 веке. Эти идеи сыграли принципиальную роль в создании алгебры, а далее еще через 150 лет они оказались совершенно необходимы для современной криптографии. Вся защита информации – это небольшое приложение тех алгебраических представлений, которые были выработаны при решении классической задачи. А сейчас по-видимому будет очень активно развиваться направление математики, связанное с переложениями математики не физикой, не с механикой, не с техникой, а с биологией, психологией, медициной и социологией. 

Например, теорию катастроф Рене Том, блестящий французский математик, создал для того, чтобы понять проблему деления клетки. Когда возникла клетка, она разделилась на две, дальше на четыре. Откуда одни клетки знают, что их потомство должно стать клетками мозга, а другие – клетками желудка? В попытке осмыслить эту проблему и решить ее, мы очень далеки, но была создана удивительная математическая теория. Можно сказать так: посмотрим на науку в целом, какой она будет, зависит от цитируемости в различных областях исследования. 

Когда я учился в школе, считал, что математика большая и главная наука, физика в два раза проще, химия еще в два раза проще, а биология еще проще, чем физика или химия. А если мы посмотрим на взрослую науку, на цитируемость, ведь цитируемость – это не тщеславие ученых, это то, насколько активно то или иное научное сообщество, какие средства вкладываются в его развитие и соответствующие исследования. Цифры таковы, если можно сложить школьную биологию, молекулярную биологию, генетику , иммунологию, то это примерно 50. Физика это 10, химия это 8, вся математика это 1,5 и информатика это 1,5. Поэтому понятно что математика будет развиваться в соответствии со своей внутренней логикой, и в то же время ориентируясь на проблемы и задачи тех областей, что стремительно развиваются. 

Еще яркий пример. Путь персонализированной медицины связан с тем, что увеличение продолжительности жизни на 20, 30, 50 лет связано с анализом генома. Геном – это наша наследственная информация в четырех буквах А Т Г Ц. По анализу крови нужно восстановить, какой геном крови у каждого данного человека, а потом понять, что записано в нем. Там записаны, например, наши способности – к бегу, к математике, к музыке. Это грандиозная задача, которую сейчас решают биология и медицина. Математика играет в этом ключевую роль, потому что, представьте себе, что такое 7 млрд букв. Мы с вами живем 3 млрд секунд примерно. Мы просто не можем посмотреть каждую буковку в нашей наследственной информации. Так или иначе нам надо придумывать способы, чтобы это делали компьютеры, им это поручить. Здесь возникает масса интересных математических задач. Поэтому я думаю, что математика даже середины 21 века будет очень-очень сильно отличаться от того, что мы знаем сейчас.