Поддерживаю вывод об отсутствии радикальных перемен, и ко всему вышесказанному от себя добавлю следующее: спрогнозировать предполагаемую бытность русского государства можно на примере Швеции, имевшей зависимость от Речи Посполитой из-за происхождения монарха, Сигизмунда Вазы, о котором говорилось выше. Будучи сыном шведского короля, он наследовал престол и de nomine правил страной («Божьей милостью король Польский, <...> а также наследный король Шведов, Готов и Венедов» — титул Жигмунта III).
В последствии при нём Речь Посполитая достигнет сначала пика своего могущества (время, предшествующее и последующее польско-московским войнам, то есть начало XVII века), а затем начнёт приходить в упадок. Тому виной, во-первых, постепенная утрата монархом власти, переходящей к шляхте — воинскому сословию: государственные решения принимались на Сеймах, где становилось всё больше разногласий и рьяных протестов против установления королём абсолютизма; во-вторых, восстание в Запорожской Сечи под предводительством Хмельницкого и бунты в самой Польше (рокош Зебжидовского, 1606-1609 гг.); наконец, череда войн, известных в польской истории как Кровавый Шведский Потоп, а в русской отражённых Северной войной — уже при преемнике Жигмунта, Яна Казимира. Последнее приблизило утрату Речью Посполитой самостоятельности.
Итак, Сигизмунд номинально наследовал Швецию и желал объединения под своей властью обоих государств. В 1592 г. ему удалось добиться унитарного объединения, не признанного самими шведами: спустя три года парламент избрал регента на место отсутствующего в стране правителя: в это время им велась подготовка, затем война с Московским царством. Внешне- и внутриполитические проблемы вынудили отказаться от притязаний на трон, и Швеция закрепила за собой статус самостоятельной, грозной и воинственной державы.
«Шведский» сценарий наиболее оптимален, по моему мнению, для Московии: сначала — та же номинальная власть польского государя Владислава VI Вазы (от его имени были изданы несколько законов, но коронован он не был) при фактическом сохранении русского дворянства, следовательно, того же течения политики, какое имелось. Затем, вероятно, регенство и укрепление регента в правах: восстание бы повлекло ещё одну войну с Польшей, которую она, вероятно, проиграла бы. Единство польской и московской корон не изменили бы хода шведских войн и, скорее всего, подхлестнули бы Московию к восстановлению в правах. Дальнейшее развитие внутренней политики очень правдоподобно описано в лучшем ответе на данный момент.
Что касается потепления градуса отношений русских и поляков, то вряд ли была бы тесная дружба: почва не та. Скорее, более мирное сосуществование на карте Европы до времён революции в Российской Империи при условии реальной автономии Царства Польского, а может и сохранения Польского Королевства после разделов Республики.