Чтобы построить геометрию начиная с аксиом, изучить свойства фигур, классифицировать движения плоскости, вовсе не обязательно иметь перед глазами линии и чертежи. Какую мы там представляем себе картинку – для высокой геометрии несущественно. Изображения в геометрию «не зашиты». С картинками мы работаем потому, что это удобно, наглядно, и составляет значимую часть культуры человечества.
Когда мы учим геометрию (привычную евклидову), то для каждого понятия (евклидова плоскость, точка, прямая, окружность, расстояние) у нас есть модель: каждый может нарисовать две точки и измерить расстояние линейкой. Эта модель общепринята, но не обязательна. Не все заметили, что в школе изучают две абсолютно непохожих евклидовых модели, тесно связанных между собой.
Координаты на плоскости связывают обе модели: каждой паре чисел соответствует точка с такими координатам и наоборот.
Когда Лобачевский строил свою геометрию, он начал с аксиоматики, настолько необычной, что у него даже модели никакой не было для новой геометрии. Он не представлял себе в целом, как выглядят «прямая», «плоскость», хотя оперировал этими словами по всем правилам науки. Он рассуждал очень, очень абстрактно. И в этом одна из причин, почему его геометрию сначала приняли в штыки: трудно было себе представить, о чем он говорит; привычная евклидова модель не годилась. Со временем другие люди разработали модели геометрии Лобачевского, и притом разные. Общепринятой модели нет; а в разных моделях даже прямые выглядят по-разному! Поэтому, в отличие от Евклидовой, для модели Лобачевского нельзя описать "естественую" модель. Есть и алгебраическая модель, вообще без картинок.
Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, не стоит пересказывать аксиоматику и теоремы простыми словами. Лучше познакомиться с разными моделями в картинках, а потом уж переходить к формальным описаниям.
Вот на картинке одна из моделей (Пуанкаре) геометрии Лобачевского.
(Дальше я курсивом выделила термины в геометрии, пояснительные слова остались без курсива.) Плоскостью мы считаем евклидову полуплоскость – на картинке она оранжевая. Вверх, влево и вправо она простирается бесконечно, а снизу ограничена абсолютом – условной линией, которая плоскости не принадлежит. Прямыми мы считаем лучи, перпендикулярные абсолюту, а также полуокружности с центром на абсолюте. Кратчайшие пути между точками лежат вдоль этих прямых. На картинке мы видим 5 прямых: желтую, синюю, зеленую, коричневую и голубую. Зеленая и желтая не имеют общих точек, а потому параллельны. Зеленая и синяя тоже не имеют общих точек, и тоже параллельны. Синяя и жёлтая не параллельны – у них есть общая точка. Еще на картинке мы видим треугольник АВD, разделенный отрезком ВС на два треугольника поменьше: ABC и BCD. Все стороны всех треугольников – отрезки прямых. Угол ВDC в треугольнике ВDC равен 0, это бывает в геометрии Лобачевского. В ней сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.
В журнале "Квант" есть статья о модели Кэли-Клейна
Давайте поговорим? Я так понимаю что тут собрались знатоки в том числе и геометрии Лобачевского?! Кто мне может тогда объяснить это....то ,что написано?
Сергей Ермолаев, здесь в первой части упомянуто то, что существует ГЛ, а во второй части приведен пример ее графической интерпретации, одной из многих
какова цель применения?
Дмитрий Тел., к сожалению....
Надя Шихова, вопрос был ответить - "простыми словами", это значит как для ребенка лет 5, а вы нагородили )))
Разве условная линия Абсолюта не пунктирная? Привычная модель Декартовой системы координат была выведена до введения понятия системы координат. Из этого можно сделать простой логический вывод, что найдена была древняя рукопись и постепенно расшифровывалась, при чём не сначала, а с конца. Алгебраическая модель должна быть первой, а затем привычная. У нас же всё задом на перед.
Примерно;вместо еды,вы,пользуетесь виртуальной едой.
Евклид с открытыми глазами.
Остальные геометрии c закрытыми .
Изображения в геометрию «не зашиты»
Как же тогда вообще возникла эта наука : https://otvet.mail.ru/question/30556861
А что, мне нравится - прямая, может быть прямой, а может быть дугой. Я художник - я так вижу.
Александр Антропов, но картинка хорошая получилась.
Что вижу то и пою.Остальное бред.
Очень толково и просто написано. Спасибо.
Вот меня, кстати, еще всегда бесил постояно тиражируемый бред о том, что в геометрии Лобачевского паралельные прямые пересекаются
Victor Kaminsky, начертите на листе бумаги две параллельные прямые. Чуть согните лист и посмотрите в перспективу своих прямых, они пересекутся на искривленной плоскости. Геометрия Лобачевского - не для плоскости в нашем общепринятом для человека понимании (ровный стол).
Редактору стыдно не знать вот этого http://new.gramota.ru/spravka/trudnosti?layout=item&id=36_165 .
"которые их соединяют." - кого "их"? блин, пишите Ваши рассуждения связно, а то создается впечатление, что Вы с бодуна
Вышел.Где вошёл.Куда пришёл!А дальше на попутках геометрий.Удачи..........
Геометрия на сфере.Вогнутой или выпуклой.Может быть двуугольник с различной суммой углов(что невозможно в геометрии Евклида).Для лучшего представления можно взять мяч и нарисовать на нём геометрические фигуры.
НАУКА НИЧЕГО НЕ СДЕЛАЛА, ЧТОБЫ НЕ НАВРЕДИТЬ ПРИРОДЕ!