Что представляет из себя геометрия Лобачевского простыми словами?

Чтобы построить геометрию начиная с аксиом, изучить свойства фигур, классифицировать движения плоскости, вовсе не обязательно иметь перед глазами линии и чертежи. Какую мы там представляем себе картинку – для высокой геометрии несущественно. Изображения в геометрию «не зашиты». С картинками мы работаем потому, что это удобно, наглядно, и составляет значимую часть культуры человечества.

Когда мы учим геометрию (привычную евклидову), то для каждого понятия (евклидова плоскость, точка, прямая, окружность, расстояние) у нас есть модель: каждый может нарисовать две точки и измерить расстояние линейкой. Эта модель общепринята, но не обязательна. Не все заметили, что в школе изучают две абсолютно непохожих евклидовых модели, тесно связанных между собой.

Координаты на плоскости связывают обе модели: каждой паре чисел соответствует точка с такими координатам и наоборот.

Когда Лобачевский строил свою геометрию, он начал с аксиоматики, настолько необычной, что у него даже модели никакой не было для новой геометрии. Он не представлял себе в целом, как выглядят «прямая», «плоскость», хотя оперировал этими словами по всем правилам науки. Он рассуждал очень, очень абстрактно. И в этом одна из причин, почему его геометрию сначала приняли в штыки: трудно было себе представить, о чем он говорит; привычная евклидова модель не годилась. Со временем другие люди разработали модели геометрии Лобачевского, и притом разные. Общепринятой модели нет; а в разных моделях даже прямые выглядят по-разному! Поэтому, в отличие от Евклидовой, для модели Лобачевского нельзя описать "естественую" модель. Есть и алгебраическая модель, вообще без картинок.

Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, не стоит пересказывать аксиоматику и теоремы простыми словами. Лучше познакомиться с разными моделями в картинках, а потом уж переходить к формальным описаниям.

Вот на картинке одна из моделей (Пуанкаре) геометрии Лобачевского.

(Дальше я курсивом выделила термины в геометрии, пояснительные слова остались без курсива.) Плоскостью мы считаем евклидову полуплоскость – на картинке она оранжевая. Вверх, влево и вправо она простирается бесконечно, а снизу ограничена абсолютом – условной линией, которая плоскости не принадлежит. Прямыми мы считаем лучи, перпендикулярные абсолюту, а также полуокружности с центром на абсолюте. Кратчайшие пути между точками лежат вдоль этих прямых. На картинке мы видим 5 прямых: желтую, синюю, зеленую, коричневую и голубую. Зеленая и желтая не имеют общих точек, а потому параллельны. Зеленая и синяя тоже не имеют общих точек, и тоже параллельны. Синяя и жёлтая не параллельны – у них есть общая точка. Еще на картинке мы видим треугольник АВD, разделенный отрезком ВС на два треугольника поменьше: ABC и BCD. Все стороны всех треугольников – отрезки прямых. Угол ВDC в треугольнике ВDC равен 0, это бывает в геометрии Лобачевского. В ней сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.

В журнале "Квант" есть статья о модели Кэли-Клейна