С точки зрения стилистики русского языка это не нужно. Официально-деловой стиль консервативен, сочетает в себе шаблонность, однообразность, при том ясность и краткость (отсылаю к учебнику Голубевой по стилистике русского языка). Слово "прошу" удовлетворяет всем этим критериям, и, если оно тем более есть в форме, то ответ: не надо ни на что заменять.
"Пишу с целью, чтобы...", может быть.
Но вообще заявления - это ритуальная речь. Ритуальные обороты тем и хороши, что это готовые шаблоны, речевые блоки не вызывающие запинок при выражении и восприятии. "Соболезную", "Спасибо", "Прошу"...