Почему потенциальная энергия гравитационного поля отрицательна? Какой в этом физический смысл? Относительно чего она отрицательна?

Думаю, что после появления понимания эквивалентности массы и энергии на шкале энергий появился-таки абсолютный ноль, от которго её можно отсчитывать. Это пустое пространство. Конечно, истинно пустое пространство - абстракция, но можно сказать, что ноль энергии наблюдается в большой области простанства, в которой нет ничего другого, и чем болше эта обасть и дальше от материи, тем точнее энергия в ней равна нулю. Если мы теперь в пустую  область пространства откуда-то доставили два тела, имеющие массу, то энергия в данном объёме пространства стала равна сумме масс умножить на квадрат скорости света. Если тела сближаются и взаимодействуют гравитационно, то общая энергия уменьшается - вот и минус. 

А парадокс с отрицательной энергией получился потому, что  учтены не все виды энергии, и ноль, действительно, выставлен произвольно.  Решая конкретные задачи, мы учитываем изменения только тех видов энергии, которые непосредственно участвуют в наблюдаемых явлениях. Однако эквивалентность массы и энергии показыает, что это лишь приближение - горячее тело должно иметь массу бОльшую, чм холодное, а сумма масс сблизившихся массивных объектов обязана быть ниже суммы масс тех же объектов, но расположеных далеко друг от друга.

То, что мы в большинстве случаев можем эти изменения игнорировать, говорит лишь о том, что мы оперируем энергиями и взаимодействиями в самом низу шкалы энергий и находимся далеко от понимания того, как возникла материя, тем более, от практичесого примения столь высокоэнергетических прцессов. Некие заметные соотношения массы и  энергии сегодня мы наблюдаем, только сталкиваясь с сильным взаимодействием, удерживающим ядро атома от распада несмотря на электростатическое отталкивание.