В теории относительности Эйнштейна время является физическим объектом имеющим пространственные координаты?

Не совсем,  время в СТО  отождествляется с физическим процессом распространения света в вакууме,  интерпретируемая как пространственная длительность ct в 4 измерении псевдоевклидова пространства.

Поэтому время не может быть объектом исследования (как и в классической механике),  а только параметром длительности процесса,  как пространство протяжённости.

Искривление пространства в ОТО это больше метафора,  основанная на геометрической интерпретации тензора кривизны в 4 мерном пространстве.

Просто через неоднородную метрику Римана можно всю динамику свести к кинематика,  что и сделал Эйнштейн и Гильберт