Почему не решаются некоторые дифференциальные уравнения?

Насколько я понял, автор вопроса имел в виду вопрос "почему некоторые дифференциальные уравнения не интегрируются в квадратурах". На мой взгляд коллеги дали исчерпывающий ответ на этот вопрос. Тезис о том, что интегрируются те и только те уравнения, которые имеют физический смысл, получил заслуженного пинка.

Поэтому позволю добавить себе лишь некоторые детали к уже имеющимся ответам.

Во-первых, такая роскошь, как получить решение в замкнутой аналитической форме, присуща некоторым представителям наиболее простого класса дифференциальных уравнений - обыкновенным дифференциальным уравнениям. За рамками этого класса существуют дифференциальные уравнения в частных производных, уравнения с отклоняющимся аргументом. Содержательность моделей, включающих эти уравнения, не вызывает сомнений, но интегрируемость их решений в квадратурах встречается только в качестве исключения.

Во-вторых, задача отыскания решения в замкнутой аналитической форме была актуальна в прошлом. В XX веке развитие качественной теории дифференциальных уравнений привело к тому, что нахождение решения в квадратурах стало одним из приёмов исследования (далеко не самым важным). Получилось найти - хорошо. Не получилось - не беда, есть другие средства исследования решений. Как верно замечено, существуют более важные вопросы: разрешимость и единственность решения в заданном функциональном пространстве, осцилляция, продолжаемость, ограниченность, сходимость, оценка скорости сходимости, различные типы устойчивости и т.д.

В-третьих, нахождение решение в замкнутой аналитической форме иногда бесполезно. Приведу пример из теории уравнений с отклоняющимся аргументом. Рассмотрим уравнение x'(t)=ax(t-1). Если заданы начальные условия на отрезке [-1;0], то на любом конечном отрезке можно построить построить аналитическую формулу для решения уравнения. Но что она даст? Ровным счётом ничего. Однако, свойства решения хорошо исследованы другими методами.