Почему не решаются некоторые дифференциальные уравнения?

Просто так придуманное "от винта" дифференциальное уравнение совсем не обязано иметь решение.

Это точно также, как не имеют решения некоторые алгебраические уравнения, которые просто придуманы "от винта". Например, алгебраическое уравнение

X/0 = 8

не имеет решения.

Или не имеет решения система двух уравнений

4X + 4Y = 1

2X + 2Y = 1

Математики любят доказывать, что у какого-то уравнения решение существует. А потом еще доказывать, что решение единственное или, наоборот, что решений несколько или бесконечно много.

И это относится к любым уравнениям, и алгебраическим, и дифференциальным, и вариационным, и т.д.

Когда вы строите математическую модель какого-то физического процесса и в результате записываете какое-то совершенно новое дифференциальное уравнение, то это еще никак не гарантирует, что у этого дифференциального уравнения существует решение (и тем более, что это решение единственное). Существование решения сначала надо доказать. Это связано с тем, что все дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, являются только моделями, и не факт, что вы правильно моделируете и правильно понимаете физическую суть процесса.

Вам кажется, что все дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, имеют решения только потому, что вы, скорее всего, не сталкивались с ситуацией моделирования (или вам просто повезло создать новую модель с дифференциальным уравнением, которое имеет решение). А в учебниках по физике, естественно, приводят только такие дифференциальные уравнения, у которых решения существуют, ибо дифференциальные уравнения с несуществующими решениями не описывают никакого физического процесса по причине ошибочности модели.

.

Теперь про интегрируемость.

Интегрируемость и существование решения, это два совершенно разных понятия. Решение может существовать у неинтегрируемого дифференциального уравнения.

Большинство дифференциальных уравнений, которые имеют решение, в физике неинтегрируемые.

Под интегрируемостью понимается аналитичность решения, то есть когда решение можно выразить в виде бесконечного быстро сходящегося ряда и всякие квадратурные комбинации таких рядов. Квадратурные, значит, комбинации рядов, выраженные через конечное число операций, сложения, вычитания,умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования.

Некоторые из таких хорошо сходящихся рядов встречаются так часто, что им придумали свои имена и обозначения. Например, экспонента - exp, синус - sin, гиперболический тангенс - th, эллиптический синус - sn, функция Бесселя - J, и т.д.

Критерием неинтегрируемости дифференциального уравнения считается превышение числа степеней свободы над количеством законов законов сохранения, которые выполняются для данного дифференциального уравнения.

Например, решение дифференциального уравнения в задаче 2-х точечных тел с массой в гравитационном поле является интегрируемым.

Почему?

Потому что, если перейти в систему отчета, связанную с одним телом, то получается, что движение другого тела происходит в трех степенях свободы. А дифференциальное уравнение имеет 3 закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения момента вращения и еще один очень экзотический закон сохранения, который я сейчас не помню.

А вот задача трех тел уже не является интегрируемой.

Почему?

Потому что в ней 6 степеней свободы, а законов сохранения меньше 6-и. Поэтому решение этой задачи, в общем случае, не может быть выражено аналитической функцией. Но решение существует и оно единственное. И это решение можно с некоторой точностью получить на компьютере. А вот выразить его через бесконечные быстро сходящиеся ряды не получится.