Почему не решаются некоторые дифференциальные уравнения?

На самом деле, вопрос - почему они должны?

Если, например, взять классическую книгу А.Ф. Филиппова, то быстро становится ясно, что это такой cookbook - некоторый сборник рецептов для очень конкретных случаев. И именно для этих конкретных случаев дифференциальных уравнений разработаны совершенно конкретные рецепты, которые не будут работать в других ситуациях.

Вообще говоря, с точки зрения прикладных задач, этих случаев часто хватает и вообще их довольно много, и в этом смысле решать дифференциальные уравнения мы умеем достаточно неплохо. Но с точки зрения математики, какие-то случаи рассмотрены и для них есть понятные методы, какие-то не рассмотрены и методов для них не придумано. В литературе менее учебной можно найти более экзотические рецепты.

В целом нет никаких гарантий, что произвольное уравнение (кстати, это касается не только дифференциальных уравнений) будет иметь решение. Для многих постановок задачи есть три отдельных вопроса - существование решения, единственность решения и собственно нахождение решения. В ряде моих результатов, например, само решение найти не получилось, но можно получить теоремы единственности и существования решения.