Существует ли логика, в которой отношение истинность–ложность не бинарное, а описывается как шкала достоверности?

Существует несколько вариантов такого рода логик. Часто они относятся к таксону т.н. "неклассических логик". Это уже и упомянутая здесь нечеткая логика, и многозначная логика и много чего ещё.

Нечеткую логику можно представить на бытовом уровне командами "правее" - "левее" или операторами сравнения "больше"- "меньше". Думаю, аналогия тут понятна.

Из многозначных логик самая известная -- троичная: "истина" - "ложь" - "не определено" (и это лишь один из возможных вариантов). Но есть более сложные многозначные логики со счетным набором значений.

Есть ещё дескрипционная логика, параконсистентная логика (как раз под описываемый Вами частный случай) и т.д. и т.п. и пр. Таких альтернативных "логик" понапридумано несколько десятков уже.

В значительной степени из-за проблемности самого принципа tertium non datur и необходимости решения проблемы ex falso sequitur quodlibet et ex contradictione sequitur quodlibet ("из ложной посылки следует всё что угодно и из противоречия следует всё что угодно") — то есть, из ситуации, когда мы имеем на выходе результат "ИСТИНА" (TRUE), но не можем на этом основании сделать утверждение об истинности изначальной посылки до операции, процесса и т.д. С законом исключенного третьего (tertium non datur) есть другая проблема: утверждение на практике _может_ быть не истинным и не ложным, лишенным смысла, конструктивно не определяемым, амбивалентным и т.д. и т.п. и пр.

Многое уже изобретено. И многое ещё предстоит изобрести. Это если коротко.