Как вычисляют площадь фигур через синусы и косинусы в планиметрии? Я не могу понять как через значение угла можно вычислить площадь фигуры..

А вы вспомните определение синуса и косинуса и всё встанет на свои места. 

Синус — это отношение противолежащего катета треугольника к гипотенузе, а косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

И смотрите, что получается. 

cos60° = sin 30° = 1/2 

cos30° = sin60° = sqrt(3)/2 

Видите, что получается, да? Двумя углами (например, 60° и 90°), одним катетом и одной гипотенузой (допустим, катет — единица, а гипотенуза — двойка) мы можем задать прямоугольный треугольник. И тогда площадь — это ничто иное, как выражение площади произвольной фигуры через такие вот треугольники, с которыми мы работать умеем. Функции синуса и косинуса на момент их появления задавались таблично и описательно: это были вот такие вот таблицы соответствий углов и отношений катетов к гипотенузе.

В каком-то смысле косинус того или иного угла можно воспринимать как класс эквивалентности для множества прямоугольных треугольников, где справедливо вот такого вот рода отношение. И для понимания именно этих интуиций до тригонометрии дают и заставляют зубрить признаки подобия треугольников. 

Допустим, у нас есть некое геометрическое место точек на плоскости, ограниченное какими-нибудь диким ломанными и кривыми. И мы не знаем, как с этим работать: ну то есть вообще не имеем ни малейшего представления. Зато мы знаем, как работать с простейшими фигурами — треугольниками и квадратами. Соответственно, вычисление площади произвольной плоской фигуры через косинусы и синусы — это сведение задачи к выражению произвольной плоской фигуры через какие-нибудь более простые фигуры (в данном случае — треугольники). 

То есть, если в формуле площади у вас где-то вылезает синус или косинус то, грубо говоря, это потому, что задачу свели к работе с тем, что мы знаем, — с треугольником. Оно так часто бывает: когда перед нами "неведомое чудо", мы работаем не с ним, а с тем, что знаем.