Любое математическое определение — результат договорённости, которая продиктована теми задачами, которые планируется решать. То определение, которое привели Вы, возникло в математике на определённом этапе её развития. О том, что можно функцию понимать и иначе, Вам уже написали.
Но давайте исходить из того определения, что привели Вы. Вы пишете:
"...Тогда возникает тупик, если рассмотреть функцию квадратного арифметического корня то там возникает ДВУЗНАЧНОСТЬ..."
Прежде чем что-то возникнет, мы должны определить функцию, т.е. однозначное правило. Значит, никакой двузначности не может быть по определению.
Как эта задача решается в школе — Вам известно. В Вашем примере ар. кв. корень из 4 — это именно 2 (могли бы взять и -2, но так удобнее).
Так что никакого противоречия здесь нет.