Как без помощи религии совершается покаяние?

Отвечаю, как представитель евангельских христиан. Хотя, пишу и отвечаю прежде всего от себя и за себя.

Для метанойи, то есть изменения образа мышления совсем не обязательно иметь "мощнейший аппарат покаяния". Ничего не хочу говорить плохого про этот "аппарат".  Потому что для кого-то он помагает в этом процессе. Для покаяния необходимо иметь те же инструменты, которые были у Ветхозаветных Пророков, и которые были у Апостолов и всех проповедников Евангелия: Божье слово и помазание Святого Духа. Для человека совершающего покаяние нужно быть смиренным и открытым для действия этих инструментов в своей душе. Все остальные части "мощнейшего аппарата покаяния", это только прилагательные или вспомогательные детали. Ни пост, ни покаянная молитва (50 Псалом или каконон Андрея Критсткого), ни исповедание грехов перед священником не могут сами по себе произвести покаяние в человеке. Это делает Дух Святой посредством Божьего слова. 

Вот, что ещё важно понимать в этом процессе. Бог не призвал нас к тому, чтобы мы сами, своими усилиями старались стать лучше и святее. Он для этого послал Своего Духа, дал Своё слово, поставил в Церкви служителей:

И Он поставил одних Апостолами, других пророками, иных Евангелистами, иных пастырями и учителями, к совершению святых, на дело служения, для созидания Тела Христова, доколе все придем в единство веры и познания Сына Божия, в мужа совершенного, в меру полного возраста Христова; дабы мы не были более младенцами, колеблющимися и увлекающимися всяким ветром учения, по лукавству человеков, по хитрому искусству обольщения, но истинною любовью все возращали в Того, Который есть глава Христос, из Которого все тело, составляемое и совокупляемое посредством всяких взаимно скрепляющих связей, при действии в свою меру каждого члена, получает приращение для созидания самого себя в любви. (К Ефесянам 4:11-16) 

В этом процессе важную роль играет проповеданное Божье слово и принятие его в сердце. Об этом говорит Господь в притче о сеятеле и семени. Так же Иисус Христос сказал об этом процессе в Евангелии от Иоанна:

Тогда сказал Иисус к уверовавшим в Него Иудеям: если пребудете в слове Моем, то вы истинно Мои ученики, и познаете истину, и истина сделает вас свободными. (От Иоанна 8:31-32)

Думаю, что эти слова Господа являются ключевыми. По крайней мере, в моей жизни, именно понимание истины принесло (и продолжает приносить) свободу от многих неправильных вещей. Этот процесс похож на включение света в комнате. Можно потратить много времени, чтобы в тёмной комнате навести порядок. У кого-то это может неплохо получатся. Но гораздо проще просто включить свет. Тогда всё становится на свои места. Не зря Давид в 118-ом Псалме говорит:

Слово Твое — светильник ноге моей и свет стезе моей. (Псалтирь 118:105)

Есть ещё разные аспекты этого процесса, в котором могут быть полезны, Причастие, и пост, и исповедание грехов перед служителем, и некоторые другие детали, о которых написано в Библии. О каждом из них можно отдельно говорить. Но, как я вижу в Писании и на практике, главную роль играет Божье слово, корое открывает и оживляет для нас Святой Дух.