Вопрос что понимается под "знать"? Если это помнить много формул, то это вовсе не даст никакого результата. Но будет хорошей тренировкой способностей памяти.
Разбираться значит уметь хорошо мыслить, а не помнить все теоремы математики. Математик это человек с "математическим складом ума" или мышления. Математическое мышление опирается на необходимость строго логически доказывать все выводы. Помогает ли такое мышление в обычной жизни? И да и нет. Математик может быстрее заметить влияющие на обстоятельства факторы. Но наша жизнь очень сложно устроена, факторов влияющих на события бесчисленно много. Это приводит к невозможности построения идеальной математической модели, а без нее математическое мышление бессильно.
Теперь к "другим наукам".
Во первых, они очень разные. Наука определяется от метода познания и так называемого "научного метода" (поискать в вики). Далеко не все "науки" реально построены на строгом научном методе. Есть, так называемые, "точные", есть качественно эмпирические, социальные, философия. Социальные "науки" во многом опираются на оценочные суждения и работу аналогий, тут нет "точной науки", а научный метод очень условен. Зато в таких науках может быть огромная фактология, набор фактов не связанных логическими выводами, но которые надо помнить. Это обратная сторона медали к "неточности науки".
Вывод: математическое мышление будет в помощь но не доминировать. А с учетом того что нужны и знания (помнить большой массив фактов зачастую несвязанных логикой), то чистого математика ждет провал )
Не знаю, прямо так уж и любую? Но в большинстве - точно.
Кто-то из великих сказал: "Математика - гимнастика для Ума". Я бы добавил: "Математика - дисциплина Ума". Только дисциплинированный Ум в этой жизни может чего-то вразумительного добиться.
Многие математики не разбираются в физике, все физики разбираются в математике. Я,кончив Физтех по специальности двигатели летательных аппаратов, защитил докторскую по адаптивным методам фильтрации управляемых временных рядов.
Вектор может помочь в термодинамике. Только это вектор не в обычном пространстве, а в кофигурационном (фазовом).