Почему русские войска могли одерживать победы над западноевропейскими рыцарями, но терпели поражения от монголов?

Во-первых, не надо смешивать в одну кучу людей, коней, княжества и временные периоды. Стояние на Угре (1480) московиты затащили, например.

Во-вторых, тут совершенно разные масштабы. Стычки с рыцарями в 13 веке сложно назвать в полном смысле сражениями, даже самая масштабная Раковорская битва была довольно скромной. А в т.н. "ледовое побоище", которое не было ни ледовым, ни побоищем, в реальности принимало участие всего несколько сотен человек со всех сторон.

Орда же располагала колоссальными ресурсами - сотни тысяч (в реальности их никто не считал) человек, что для Средних Веков просто невероятно. Чтобы вы лучше понимали масштаб: 30-тысячный поход Субэдэя, судя по всему, был только пробой пера, а основные силы западного похода оцениваются в 120+ тысяч;  тогда как в Ливонском походе 1268-1269 годов приняло участие около 18 тысяч непосредственно орденских сил, около 9 тысяч "моряков" и какое-то количество наемников из местных, что по самым оптимистичным оценкам даёт не более 40 тысяч в сумме, из которых непосредственно в бою едва ли могло принять участие больше 10 тысяч единовременно.

Кроме того, ордынские военачальники имели уникальную систему управления боем с помощью сигнальных огней и барабанного боя, которая позволяла руководить существенно большими армиями, которые, к тому же, были более дисциплинированы, чем немецкие и руские войска того же времени. Так количество участников эпичнейшей битвы при Грюнвальде со стороны Ордена оценивается наиболее адекватными исследователями в районе 11 тысяч человек, а славянско-литовской конфедерации - около 16-17 тысяч, и сражение довольно быстро превратилось в бардак с обоих сторон, а монгольские военачальники за 150 лет до того довольно качественно управлялись с армиями в несколько раз больше.

Еще важно учитывать, что в 13 веке снаряжение рыцаря и дружинника было плюс-минус на одном уровне: конь, копье, меч, щит, кольчуга, возможно, усиленная примитивными пластинчатыми доспехами, и шлем. Плюс, могли вовлекаться ополчения из местных, вооруженные разным дрекольём и/или луками-арбалетами, а могли и не вовлекаться. Монголы же пришли на Русь с куда более совершенным вооружением и разделением войск на роды с разной тактикой. Ну и не стоит забывать, что тогда у монголов в распоряжении были лучшие осадные орудия, которые просто разметали в прах деревянные руские крепости.