Почему минус на минус дает плюс?

Требуется доказать, что (-a)(-b)=ab.

Будем действовать в рамках аксиоматики действительных чисел (wikia.com).

Для начала докажем, что -a = (-1)a. Итак, a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 + (-1))a по аксиомам о существовании нейтрального элемента и о дистрибутивности умножения. Далее (1 + (-1))a = 0a по аксиоме о противоположном элементе. Покажем, что 0a = 0.

0a + a = 0a + 1a = (0+1)a = 1a = a. По аксиоме о существовании нейтрального элемента по сложению, получаем 0a + a = a = 0 + a, откуда 0a = 0. Возвращаясь назад, мы получили, что a + (-a) = 0 = 0a = a + (-1)a. То есть, действительно, -a = (-1)a.

Далее в рамках аксиоматики делаем следующие преобразования: (-a)(-b) = (-1)a(-1)b = (-1)(-1)ab= -(-1)ab (в последнем равенстве мы заменили (-1)(-1) на -(-1), т.к. ранее мы доказали, что -a = (-1)a).

Покажем, что -(-a) = a. Из аксиомы о противоположном элементе -(-a) - это такой элемент x, что (-a) + x = 0. Из той же аксиомы получаем, что a + (-a) = (-a) + a = 0, значит, этот элемент равен a. Отсюда -(-1) = 1. Значит, -(-1)ab = 1ab = ab по аксиоме о существовании нейтрального элемента по умножению. Окончательно, (-a)(-b) = ab. Что и требовалось доказать.

Конечно, это доказательство упрощено и не содержит таких важных вещей, как, например, доказательство единственности противоположного элемента и единственности нуля, как решения уравнения x + a = a. Эти тривиальные задачи оставлены читателю в качестве упражнения.