Помимо того, что с Орлами пришлось бы еще договариваться и просить их (что не так уж невозможно, учитывая, что даже за время действия Властелина Колец они как минимум дважды приходили героям на помощь), возникала проблема в самом кольце и в попадании в Мордор. Даже несколько проблем.
Само кольцо. Оно, если вы помните, способно подчинять себе душу и сознание носителя. Да, даже Великого Орла. Ему крайне трудно сопротивляться и Фродо в конечном итоге сдался.
Великое Око. Великие Орлы Манве - здоровенные птицы, они не могут пролететь незамеченными, это вам не стелс-бомбардировщик. Их непременно бы заметили еще на подлете. И уж Саурон со своей башни заметил бы непременно. Заметил и натравил бы на них и страх, и ужас, и просто девятерых всадников на вивернах.
В Мордоре и на подлете к нему проблема не только в Великом Оке. У орков имелись баллисты и катапульты, достаточно мощные, чтобы прицельным огнем сбить и захватить орла или даже убить его.
Именно поэтому Совет принял решение положиться на незаметность и скрытность, а не на пафосных птиц.
Великие Орлы - это отдельная раса Средиземья. Они могли говорить на языках людей и эльфов. Орлы жили достаточно долго и, предположительно, были бессмертны.
Гендальф мог позвать их на помощь, но они сами решали, лететь или нет.