На что повлияет последнее большое исследование гомосексуальности, которое говорит, что гена гомосексуальности не существует и она является приобретенной? Как изменятся запреты и отношение к ним?

Вопрос практически уже задавался здесь. В самом вопросе - оказалась неточность, и там, и тут. Потому лишь вскользь озвучу:

нет одного гена, ответственного за гомосексуальность. Были обнаружены некоторые генетические комбинации, связанные с однополыми отношениями, но генетические факторы лишь на четверть определяли гомосексуальное поведение...В итоге исследователи из Гарвардского университета и Массачусетского технологического института пришли к выводу, что от 8 до 25% гомосексуального поведения людей в обществе определяются генетическими факторами - но не каким-то одним геном

Источник: ВВС

Как мы видим, обнаружены генетические комбинации, а не один конкретный ген. Следовательно, говорить о  приобретенности,как минимум, - неверное предположение, если не сказать - ошибка.

мы подходим к вот этой научной работе (англ):  Стэнфордский университет Михал Косински (Michal Kosinski) и Йилун Вонг (Yilun Wang)

Описание  работы дано обзорно например здесь

Нейронную сеть научили сравнивать фото двух случайно выбранных людей, один из которых был гомосексуалом. Уже по одной фотографии нейросеть демонстрировала правильный результат для мужчин в 81% случаев, а для женщин — в 74%. Если же число фотографий увеличивали до пяти, то показатель составлял 91% и 83% соответственно.

Полученные данные свидетельствуют в пользу того, что склонность к гомосексуальности закладывается в человеке ещедо рождения.

Значит и тут говорить о  приобретенности - тоже никак нельзя.