Может ли существовать пространство с нецелым количеством измерений? Какие формулы линейной алгебры или физики допускают такие пространства?

Понятия числа измерений множества как фигуры и целиком об'емлющего эту фигуру пространства суть одни из самых трудных в математике.

Даже инвариантность / корректность размерности кнечномерного линейного пространства вызывает значительные затруднения у изучающих [в первых редакциях Курса высшей алгебры А.Г. Куроша теорема (Маклейна-) Евг Штейница о замене выделялась специальным образом].

Понятие топологической размерности через кратность покрытия замкнутыми множествами была определена в начале (в 20-х) годах прошлого века в основном П.С. Урысоном и Карлом Менгером.

После этого понятие размерности многократно исследовалось и обобщалось, при этом расширялся класс фигур, к которым это понятие было применимо.

Такие внешне "патологические" образования исследовались Феликсом Хаусдорфом (до его гибели в Германии) и Абрамом Самойловичем Безиковичем, эмигрировавшим в Англию (успел при большевиках и / или Колчаке побывать ректором Пермского университета) индивидуально и с, в основном, значительным физиком Урселлом (его именем названы специальные функции в статистической механике).

Затем стараниями и (само-)рекламой господина Бенуа Мандельброта вновь возник интерес к этим понятиям, связанным с фрактальной = дробной (une fraction = дробь) в смысле Безиковича - Хаусдорфа размерностью в некоторых так называемых самоподобных фигурах.

С некоторыми перерывами этот интерес продолжен по сю пору в физических исследованиях, опирающихся на самоподобие в теории перколяции = протекания, в вычислении так называемых критических индексов. А также в некоторых специальных теоретико-числовых исследованиях.

Всё это имеется в специальной и в даже учебной литературе.

Л.К.