Ответ будет зависеть от масштабов бизнеса. Крупный и средний бизнес имеют специалистов по кадрам, которые и занимаются непосредственно формализацией трудовых взаимоотношений. На небольших предприятиях роль кадровика берет на себя, как правило, бухгалтер.
Но необходимо понимать, что должностные инструкции - это документы, которые совсем не обязательны, и даже более того не предусмотрены Трудовым кодексом РФ.
Если для сотрудников достаточно крупных организаций в необходимости четко прописать их обязанности лично у меня не возникает сомнений, то для небольших, где и так обязанности фактически размыты, это чаще всего лишь ненужная формальность, которая никак не способствует развитию бизнеса.
Для относительно небольших организаций, чаще всего должностные инструкции разрабатывает "верхушка" (собственник, директор или кто-то из топ менеджеров)
Их разрабатывают руководители подразделений. Будучи ИТ-руководителем я разработал должностные инструкции для программистов. Пример инструкций прикладываю в ссылке - https://baskovsky.ru/2020/06/должностные-инструкции-веб-разработ/