Организации бывают разных размеров: от 1 человека до тысяч.
В зависимости от размеров, это может делать как сам собственник, который участвует в операционной деятельности. Так и специальный человек в штате — специалист по бизнес-процессам.
Можно так же поручить это руководителям структурного подразделения. В этом случае документы будут разного формата, но это лучше, чем ничего.
Можно нанять стороннего эксперта.
Для относительно небольших организаций, чаще всего должностные инструкции разрабатывает "верхушка" (собственник, директор или кто-то из топ менеджеров)
Их разрабатывают руководители подразделений. Будучи ИТ-руководителем я разработал должностные инструкции для программистов. Пример инструкций прикладываю в ссылке - https://baskovsky.ru/2020/06/должностные-инструкции-веб-разработ/