Допустим, научились делать резервную копию сознания и хранить ее на сервере, а в случае смерти вживлять в новое тело. Это будет та же личность, или уже нет?

Вопрос не имеет смысла.

1. Сама личность, разумеется, будет считать себя "той же самой".

2. Окружающие, если дать им пообщаться с данной личностью, вероятнее всего примут её за "ту же самую" (поскольку она первое время будет выдавать те же реакции, что и прежняя личность).

3. При этом копий может быть сколько угодно, и понятно, что в силу этого факта ни одна из них не может быть признана "настоящей".

Вывод: это будет определено законодательно. Примут закон, что это "та же личность" - будут считать той же. Примут, что это "другая личность" - будут считать другой. Но, вероятнее всего, будет принят какой-то промежуточный вариант ("не совсем та же личность") со сложно ограниченными правами.