First of all, хочу заметить: и хазары, и печенеги, и половцы тоже были тюрками. И им русичи хорошо и регулярно вламывали.
По численности войска даже объединённые силы двух-трёх княжеств не могли на равных противостоять монголам. Только если бы собрались объединённые силы большей части Древней Руси. Но даже и объединение не являлось панацеей. Битва на Калке это доказала.
Вооружение и экипировка войск русских княжеств были не столь тяжёлыми как в Центральной и Западной Европе, но по тактике они были ближе к европейским армиям, чем к азиатским кочевникам. Скажем так, они были заточены под борьбу с упомянутыми хазарами/печенегами/половцами и на разборки между собой, но оказались не готовы к встрече с более серьёзной силой. Элитой были хорошо вооружённые конные дружинники, чья тактика была близка к рыцарской. Но львиную часть армии составляло ополчение из крестьянских и городских слоёв, слабо вооружённое, защищённое и подготовленное.
Тогда как в монгольской армии каждый мужчина с детства отлично умел ездить на коне и стрелять из лука (это требует отдельной долгой подготовки), т.е. был профессиональным воином.
К XIV-XV векам к тактике ордынцев пригляделись и выработали контрмеры. Но это примерно соответствует общему развитию военного дела в Европе. А именно: с кавалерией успешно может бороться тяжеловооружённая пехота, поднимающая конников на длинные копья. В качестве противовеса луку идёт арбалет (на Руси именовавшийся самострелом), который стреляет куда как мощнее и дальше, а научиться стрелять из него значительно проще. Такая тактика сыграла известную роль в Куликовской битве (пользуясь случаем, передаю физкульт-привет татарской Вики, не признающей этого события).
Также на Руси сразу же оценили роль огнестрельного оружия.