Понимают ли математики смысл своих формул?

Смысл не в формулах. Смысл в мозгах понимающего, как красота в глазах смотрящего.

1. Начнем с того, что у математиков не бывает "своих" формул. На математические формулы не распространяется авторское право. Формулами может пользоваться всякий, кто пожелает. В том числе физики, биологи, химики, социологи, экономисты...
2. Формулы -- не бродячие мемы из интернета. Формула превращается в набор символов, если неизвестно, что эти символы обозначают, какие значения могут принимать, а какие не могут. Понятия, которые вошли в формулу, связаны с другими математическими понятиями, а те с другими... Формула -- как гриб на грибнице. Человек, далекий от математики, может удивляться этим причудливым грибам, как это они внезапно появляются там и сям в математическом лесу. Но к каждому ведет множество не (всем) заметных нитей грибницы. "Понимать" формулу -- значит разбираться во всех "хитросплетениях грибницы", то есть в содержательной теории.
3. Нет таких математиков, которые бы глубоко знали всю математику. Каждый разбирается в каком-то ограниченном "куске грибницы", просто потому, что она разрослась уже неимоверно.
4. Очень распространена проблема, когда неспециалисты применяют формулы, не разбираясь в условиях применения. Особенно в статистике, когда бездумно предполагают нормальность распределения, или независимость данных или что выборка репрезентативна и т.п. Если в неверных условиях применять формулы статистики, получится ерунда.
5. Всегда интересны истории, когда математики расширяют смыслы своих формул или уточняют их. Это нормально, математика ведь развивается. Например, Эйлер доказал формулу для выпуклых многогранников: В-Р+Г=2.

"Смысл" ее такой: число вершин-число ребер+число граней=2. Нетрудно проверить ее на частном случае, например для куба. У куба В=8 вершин, Р=12 ребер и Г=6 граней. Действительно, 8-12+6=2.

Но если отказаться от требования выпуклости, формула будет выполняться не всегда. Справа могут получаться другие числа вместо двойки, значение В-Р+Г называют эйлеровой характеристикой многогранника. И "смысл" формулы В-Р+Г=2 можно прочитать и так: эйлерова характеристика многогранника равна 2.

Еще раз повторю: смысл в мозгах понимающего, как красота в глазах смотрящего.