Понимают ли математики смысл своих формул?

Формула в математике это только вершина айзберга. Все начинается с аксиом, т.е. построения некоторых допущений, которые не требуется доказывать, но которые опредляют какой-то новый математический объект. На сколько этот объект связан с реальностью не всегда известно с самого начала, т.к. эта связь может быть обнаружена позже.

В математике главное теорема, т.е. утверждение требующее доказательства.

Но когда теорема доказана, все становиться на свои места и формулы только отражают утверждение теоремы.

Изначально математика была геометрией и астрономией, т.к. основные расчеты выполнялись на плоскости и плоских траекторий в трехмерном пространстве.

Аксиомы и теоремы поэтому тоже были геометрическими.

Открытиями в математике становятся не столько формулы, сколько тождества, неочевидные с самого начала.

Теорема подтверждает тождества, но всегда необходимо помнить об аксиомах.

Поэтому основные открытия в математике происходят именно при смене аксиом. 

Здесь можно привести пример неевклидовых пространств. 

Достаточно было поменять одну аксиому, к которой было больше всего вопросов, и математики получили сразу две геометрии с положительной и отрицательной кривизной пространства.

Изначально математика обращалась с отрезками и их долями, т.е. рациональными числами, поэтому долго была не понятна природа других чисел: нуля, отрицательных, иррациональных и наконец комплексных.

Много вопросов было и к функциям, пока алгебра не получила такие же аксиомы как геометрия.

А дальше начался лавинообразный рост математических объектов. 

Но я предполагаю, что в вопросе скрыт более глубокий смясл: "на сколько математики понимают математику, чтобы объяснить ее нематематикам доступным языком"?

Здесь, конечно, возникает огромная сложность:

Можно ли решить эти проблемы? 

Я думаю, можно.

Необходимо создать математический "зоопарк", в котором представлять все математические объекты и объяснять, зачем они были созданы и какая связь с реальными объектами установлена или предполагается быть установленной.