Можно ли придумать такую математическую операцию, которая преобразует два числа в одно, но так, чтобы эти числа можно было извлечь снова?

Можно. Основная теорема арифметики говорит, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел в степенях:

Например: 7500 можно представить как 2^3*3^1*5^4.

Обратная операция называется "факторизация". И если факторизовать число 7500, то получим 2^3*3^1*5^4 как единственный ответ.

Но факторизация относится к классу труднорешаемых задач и на этом основаны системы шифрования. В том числе шифрования операций с вашими банковскими картами: берется большое число (знаков 200) и уже факторизовать его (то есть найти простые числа, произведение которых даст исходное) современными компьютерами невозможно даже за время на порядки превышающиее возраст Вселенной, хоть развесь в каждой точке пространства по самому мощному компьютеру. Однако, эту задачу может решить квантовый компьютер за приемлемое время.

Кроме того, это свойство (преобразование многих чисел в одно, и обратное преобразование) позволяет ввести т.н. Гёделевскую нумерацию формул. Допустим, есть некий алфавит, включающий буквы, цифры, знаки операций... Каждому элементу этого алфавита можно сопоставить номер - натуральное число. И тогда фразу можно записать как произведение простых чисел в степенях этих номеров. Например, берем номер букв по алфавиту: А-1; Б-2; В-3...

Тогда слово БАБА будет: 2^2*3^1*5^2*7^1=2100

Факторизуем 2100, получим: 2^2*3^1*5^2*7^1. Смотрим на степени: 2;1;2;1 - подставляем буквы, получаем БАБА. Более сложные слова потребуют больших вычислений, но теоретически так можно зашифровать любой текст. "Война и Мир" получит Гёделевский номер с невообразимо большим значением. Все это имеет большие и важные последствия в виде "Теоремы Гёделя о неполноте формальных систем" или будущих квантовых систем распознавания образов в сильно зашумленной среде.