А должно ли вообще быть что-то, что имеет самоценность? Что вообще имеет самоценность? И с какой стати это "что-то" самоценно?
Если говорить о природе, то всё имеет ценность ровно постольку, поскольку позволяет (прямо или косвенно) развиваться, выживать, жить, продолжать свой род и т.д. и т.п.
Ложка ценна ровно постольку, поскольку ей есть что есть, а молоток - поскольку есть что-то, что можно забить с его помощью. То же относится и к знаниям. Знание - приспособленность, инструмент, адаптация к окружающему миру. Оно не самоценно, но значимо ровно постольку, поскольку позволяет (прямо или косвенно) выигрывать в качестве жизни.
Что же касается непосредственно математики, то её ценность (за пределами узкого круга фанатов) начинает быть заметной именно в применении, приложении к какой-то конкретной, нематематической задаче. Большинство не математиков, просто не увидят за какими-то "невнятными каракулями" решительно никакой пользы, пока не увидят примеры, как эти "письмена" применяются на практике - например - для бытовых или производственных задач и какую реальную, практическую пользу дают.
По большому счёту, можно сколько угодно улучшать "молоток", но это всё равно будет "бесполезная и никчёмная железка на палочке", пока не возникнет необходимости "забить гвоздь". С математикой (и любой другой дисциплиной) - аналогично: практическая деятельность обобщается в прикладную дисциплину, а она, обобщаясь, приводит к появлению теоретической (а не наоборот). Любая дисциплина, претендующая на "самоценность", под предлогом чего, стремящаяся замкнуться на себя - бесполезный мусор, схоластика, решающая свои внутренние, оторванные от реальности проблемы - "сколько ангелов уместится на острие иглы", вся деятельность людей в которой, сводится лишь к поддержанию и обеспечению её функционирования, пиару и пропаганде "важности, актуальности и значимости" данной дисциплины.
Поэтому - да - математика должна иметь приложения и не имеет решительно никакой самоценности (как и все другие, без исключения, дисциплины).