В отличие от других ответчиков я начну с интеграла, а не с производной. Интеграл в жизни имеет конкретный физический смысл. Это площадь фигуры ограниченной осью абцисс Х и графиком функции. Далеко от жизни? Сейчас приблизим. Представим себе машину, которая едет. Отложим по оси Х время в пути, а по Y - скорость в каждый, конкретный момент времени, и начертим график скорости от времени. Если скорость постоянная - это будет горизонтальная прямая. Фигура ограниченная этой прямой и осью Х - будет прямоугольником. Ширина прямоугольника - время в пути, а высота - скорость машины. Ширина*высота=площадь. Но при этом время*скорость=расстояние. Т.е. расстояние равно площади! И пройденное расстояние - это интеграл скорости.
А теперь начинается магия математики. Как посчитать путь, который пройдет машина, если у неё непрерывно меняется скорость, и её график извилистая кривая? А очень просто. Ведь ничего не изменилось - надо только найти площадь фигуры на графике! Как мы будем искать эту площадь - не важно. Можно просто посчитать клеточки на бумаге (это будет численным интегрированием, которое всегда приблизительное). А если скорость описана функцией от времени - можно найти её интеграл и сразу получить точный ответ.
А диференцирование - это это действие обратное интегрированию. Если продиференцировать функцию расстояния от времени, которую получили интегрированием скорости - мы обратно получим скорость. Ту самую скорость, с которой меняется пройденный путь машины. Сейчас скорость большая, километровые столбы мелькают, и пройденный путь быстро растет, а когда скорость падает и пройденные километры набираются медленно. На графике пути от времени, скорость это наклон самого графика. Грфик идет вверх - скорость положительная, мы едем вперед и расстояние растет. График пошел вниз - скорость отрицательная, мы едем обратно, а расстояние до точки старта уменьшается. График горизонтальная линия (наклона нет) -скорость равна нулю, мы стоим и расстояние неизменно.
Немного решил дописать.
Вообще интеграл в изменяющихся физических процессах очень востребован. А любой процесс описывает какую-то жизненную ситуацию.
Это сколько воды натекло через трубу в пресловутый бассейн при переменном напоре. Сколько киловатт накрутил электросчетчик при переменной нагрузке на сеть. До какой температуры нагрелась вода в кастрюле, если в процессе нагрева мы регулировали мощность плиты.
Любой процесс изменяемый во времени можно интегрировать и получить полезный результат. То же касается и дифенциала, который показывает скорость изменения общего результата.
Какое замечательное объяснение! Спасибо!!!