Производная показывает скорость изменения функции. Самый элементарный пример - это расстояние, скорость, ускорение. Если мы движемся с постоянной скоростью, 5 м/с, то в первую секунду мы будем находиться на расстоянии 5 м от начала, во вторую 10 м от начала и т.д., а производная от нашего места положения - это и есть скорость 5 м/с. Если же у нас неравномерное (равнопеременное) движение, например - свободное падения в гравитационном поле Земли, то в первую секунду наша скорость будет 9,81 м/с, во вторую 9,81*2 и т.д. В данном случае скорость - производная от места положения (не является прямой, и наклонной), а производная от неё - ускорение (в данном случае ускорение свободного падения), показывает, как быстро изменяется скорость за единицу времени.
Интеграл - это обратное действие производной, как деление - это обратное действие умножения. Проинтегрировав функцию скорости и зная место положения в начальный момент времени, мы получим функцию координат, проитегрировав ускорение - скорость и т.д.
Употребляется везде в более сложных вычислениях, будь то строительство, проектирование, моделирование, электроника и т.д. Например, незаурядный ландшафт, и задание - построить дорогу наименьшего расстояния от точки А до точки Б, но так, чтобы она не проходила по впадинам; производная из функции мощности источника тока покажет наиболее эффективное значение тока; расчет формы провисания моста, формы опор, утолщение (утончение) опорных столбов и т.д. в целях 100% надежности и наименьшей затратности. И т.д. и т.п.
Какое замечательное объяснение! Спасибо!!!