Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем "Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента". Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем. Функция это некая величина, которая меняется в некоторой зависимости от другой величины - аргумента. Таким образом производная показывает нам во сколько раз функция изменяется быстрее (или медленнее), чем аргумент. Теперь уточним что такое "приращение". Вообще производная это отношение дифференциалов, а дифференциал некоторой величины это бесконечно малое ее изменение, то есть разница между некоторым начальным и конечным значением, только эти значения мы берем максимально близко друг к другу, как бы изучая изменение функции на каждом максимально маленьком ее участке. Самое очевидное приложение в естественно научной области это описание зависимости изменения расстояния, пройденного некоторым объектом от времени. Разделив бесконечно малое изменение расстояния на соответствующий ему бесконечно малый момент времени (dS/dt, где буква d обозначает что мы берем не абсолютные величины а дифференциалы) мы получим так называемую мгновенную скорость, то есть скорость, которую имел объект в конкретный момент времени. Естественно что эта скорость в другой момент времени может отличаться и тут уже находит свое приложение интеграл. Интегрируя какое то дифференциальное уравнение мы проводим суммирование по некоторой переменной. Обращаясь к нашему примеру со скоростью проинтегрировав по dt в определенных пределах (эти пределы это тоже значения времени но уже не бесконечно близко стоящие друг к другу а какие то реальные, пусть от 0 секунд до 60, например) мы получим среднюю скорость объекта, которую он имел на протяжении этой минуты. Приложение дифференциалов и интегралов в естественных науках невероятно велико и данный пример с скоростью движения просто простейшая иллюстрация, переоценить вклад этого математического аппарата в естественные науки невозможно.

Вообще дифференциально-интегральные исчисления это огромная часть математики именуемая математическим анализом, она несет в себе гораздо гораздо больше чем я написал, это целые курсы лекций как на естественно-научных специальностях, так и на непосредственно математических. Добавлю так же что описное мной выше станет гораздо понятнее если обратится к какому нибудь учебнику, наверное даже, по школьной физике или математике, в котором будут графики зависимости расстояния от времени и на них будут схематично изображены дифференциалы, там же должны быть приведены схожие с моими рассуждения.