Есть дикое количество доказательств теоремы Пифагора. А какое ваше любимое?

Здесь один математик-оптимизатор заявил: «Векторное доказательство - простейшее, кратчайшее, наиболее перспективное. Векторный физико-математический аппарат в любом учебном курсе является генеральным.»

Я возразил, что векторный анализ сам построен на теореме Пифагора, и он не привёл доказательства, и мне захотелось самому доказать её аналитически из основного тригонометрического тождества, доказав его без использования теоремы Пифагора.

Когда нам д.ф.-м.н. Юлий Андреевич Дубинский начал читать курс ТФКП, он сказал, что многое неразрешимое в действительных числах легко доказывается в компле́ксных.

Итак есть формула Эйлера ⇒ e^(iφ)=cos φ + i sin φ ∀ φ∈ℝ, которая доказывается разложением в ряд Тэйлора по степеням φ в окресности φ = 0 с коэффициентами, равными cos 0 и sin 0 как соответствующими производными от sin φ и cos φ, при сложении рядов и внедрении в степени мнимой единицы с соответствующим изменением знаков у коэффициентов получаем разложение в ряд Тэйлора по степеням φ в окресности φ = 0 функции e^(iφ) и без использования теоремы Пифагора. ⇒

e^(iφ) = cos φ + i sin φ, заменяя φ на −φ и пользуясь симметрией, ⇒

e^(−iφ) = cos φ − i sin φ, складывая и вычитая почленно, ⇒

e^(iφ) + e^(−iφ) = 2cos φ и e^(iφ) − e^(−iφ) = i2sin φ, ⇒

cos φ = (e^(iφ) + e^(−iφ))/2 и sin φ = (e^(iφ) + e^(−iφ))/(i2) - всем известные формулы для cos φ и sin φ, ⇒

sin² φ + cos² φ = (e^(iφ) − e^(−iφ))²/(−4) + (e^(iφ) + e^(−iφ))²/4 =

= (−(e^(iφ) − e^(−iφ))² + (e^(iφ) + e^(−iφ))²)/4 =

= ((−e^(i2φ) + 2e^(iφ)e^(−iφ) − e^(−i2φ) +

sin² φ + cos² φ ≡ 1, что и требовалось доказать.

Тогда ∀ z∈ℂ z = |z|(cos φ + i sin φ),

где cos φ = Re(z)/|z|, sin φ = Im(z)/|z|, φ = arg(z).

И тогда sin² φ + cos² φ = (Im(z)/|z|)² + (Re(z)/|z|)² ≡ 1 ∀ z∈ℂ ⇒

|z| = √((Im(z))² + (Re(z))²) получаем метрику для |z| и как частный случай при arg(z) в интервале (0, π/2) для прямоугольного треугольника теорему Пифагора.

Может, я велосипед собрал? Зато сам!