Думаю, что классическое определение интеграла по Фихтенгольцу предполагает , что когда разбиение отрезка бесконечно уменьшается то независимо от выбора от выбора точки z(k) из отрезка [x(k);x(k+1)]
для Sigma z(k)*(x(k+1)-x(k)) существует единственный предел некое число "Т" , то функция интегрируема по Риману. То же самое место у Уолтера Рудина написано совершенно иначе. Рудин для каждого разбиения Р данного отрезка вводит нижнюю Sigma m(k)*(x(k+1)-x(k)) и верхнюю интегральную суммы Sigma M(k)*(x(k+1)-x(k)) ( функция должна быть ограничена на всем отрезке ). Затем он показывает , что при измельчении разбиения нижние суммы не уменьшаются , а верхние не увеличиваются. Поэтому для разбиений Р1 и Р2 разбиение являющееся их объединением P1 ∪ P2 дает
s(P1) <=s(P1 ∪ P2) <= S(P1 ∪ P2)<= S(P2), то есть множество нижних интегральных сумм лежит строго слева от множества всех верхних интегральных сумм и применяет Теорему о существовании разделяющего числа. Если оно единственное, то функция интегрируема по Риману. И единственное разделяющее число есть значение интеграла по отрезку. Такое изложение проходит на ИВТ специальностях и разнобразные шедевры о том , что такое определенный интеграл по Риману начинают резко идти вниз. Студент начинает фантазировать , потому что не получает определения удовлетворяющего требованиям формальной логики. На ГОСах они вертятся как уж на сковородке, чтобы свести концы с концами в воздухе повисает понятие площади криволинейной фигуры на поскости, которое также надо сводить в духе Рудина к Теореме о Разделяющем числе.
Сравни http://vm.tstu.tver.ru/topics/pdf_tests/rudin.pdf стр 130-140
// Стиль Рудина мы услышали только в рамках ТФДП (В.П.Захарюта)
и стандартным для ИВТ специальностей ( регионы ) изложением в духе Википедии
Даже лучшие админы и кодеры разводят руками и хлопают глазами, начинают сомневаться все ли в поряде с основами Матем. Анализа. Но страх толкает их нести околесицу.
Отвечаю на вопрос о "несуразице" - в моей практике только один парень сказал, что видит ошибку у обоих и у Ньютона и у Лейбница и ему неясно почему разность значений любой пeрвообразной на концах отрезка дает площадь, а что такое площадь он вообще не знает. Он давно в Москве и Senior Oracle DBA c соответствующей западным меркам зарплатой.
Погорела на стрелочках , надеюсь она перездала успешно!