Существуют ли математические объекты до того, как о них узнали математики (если да, то где?)

"Языковое понятие" как способ описания нематериальных объектов - это достаточно бессмысленная концепция, связанная с желанием перенести интуиции от воприятия материального мира на идеальный. Язык - это в лучшем случае один из способов нашего взаимодействия с идеальными объектами, но никак не их основа.

В основе моего представления об идеальных объектах, безусловно, лежит платонизм, но поскольку между Платоном и мною прошло много дет и было высказано много интересных мыслей, то мои представления в значительной степени отличаются от платоновских.

О, сокрушительный аргумент. Шах и мат. Вы понимаете, что спорите даже не с Платоном, а с изложением Платона в советском учебнике по истории философии? То, о чем Вы говорите, не было неразрешимой проблемой уже для Аристотеля, не говоря про более позднее время.

Кстати, Вы сильно заблуждаетесь, если думаете, что Ваш собственный ответ является чем-то существенно отличным от платонизма. Весь психологизм в описании абстрактного мышления по сути тот же платонизм, только проблема дуальности объектов сознания заметена под ковер. Когда Вы говорите про "внутреннее строение человеческого сознания", то дальше уже дело техники раскрутить и про врожденные идеи и так далее по Канту. И получите Вы субъективный идеализм. Но там будет диссонанс между ним и биологией/психологией, из которых Вы надеетесь получить материальный механизм абстрактного мышления. Поскольку они вроде как опираются на объективность окружающего мира, что бы это ни значило.

каким-то образом сконструировали в своем мозгу нечто, чему нет никакого аналога в окружающем нас мире

Языком же.

Ну уж нет, позиция Гуссерля по математическим объектам была достаточно шаткая и его за это много критиковали, но то, что Вы написали, не имеет к ней никакого отношения, поскольку оперирует терминами описания внешнего мира на основе позитивных наук, чего как раз Гуссерль всю жизнь старался избежать, так как по его представлениям это приводит к порочному кругу в доказательствах.

Неокантианцы очень разные, я не знаю, кого Вы имеете в виду, но считать, будто они отказываются от идеальных объектов - это жестко. Скорее уж они отказываются от материальных объектов, считая их непознаваемыми абстракциями. И в страшном сне им не привидилось бы считать природу математических объектов обусловленной "особенностями психологии", равно как и Гуссерлю. Ну, у него с психологизмом вообще были очень тяжелые отношения. Аналитическую философию мне обсуждать неинтересно, поэтому я ее трогать не буду :).

Самостоятельное или несамостоятельное существование идей не является принципиальной проблемой, поскольку в любом случае этот вопрос упирается в интуиции чувственных восприятий. Если мы откажемся представлять существование идей как каких-то штучек, которые где-то там болтаются, то вопрос отпадет сам собой. Идеи существуют не в пространстве и не во времени, каузальность мира чувственных восприятий к ним тоже не имеет отношения. Об этом очень хорошо писал Хайдеггер в своих работах по интерпретации досократиков и Аристотеля.

Причем тут объективизм и дуализм я не понял.

Языком же.

Вот я этого не могу понять. У нас чего-то есть кроме непосредственных результатов восприятия внешнего мира или нет? Если нет, то механизм конструирования мне неясен. Если есть, то я это буду называть идеями. В принципе можно и по-другому назвать, я не знаю, "механизмами языка", но я не очень понимаю, зачем выдумывать этот флогистон

Какое-то бессмысленное препирательство пошло уже. "Покажите то, покажите это". Или я не понимаю, что Вы говорите, или Вы не понимаете, что я говорю, или и то и другое сразу.

У нас чего-то есть кроме непосредственных результатов восприятия внешнего мира или нет?

Да, конечно есть, абстрактное языковое мышление, которое позволяет означивать и комбинировать стимулы внешнего мира произвольным образом. То есть да, это "идеи", но такие идеи вполне вписываются в эмпиристскую картину мира. Они существуют только в головах у людей и в социальных практиках. Платонисты вроде Фреге, Гуссерля и Рассела считали, что реально существуют объекты "1", "2", "3", "умножение" и т.д.

Я ужасно уважаю эмпиризм, но в данном случае мне все-таки легче поверить в независимое существование идей, чем в абстрактное языковое мышление. Вообще я не очень разделяю энтузиазма насчет всё вывести из языка. У нас вот есть такое волшебное "языковое мышление", из которого все на свете получается. Раньше говорили, что у нас вот есть такая волшебная "психология", а через несколько лет, очевидно, начнут говорить, что у нас есть такое волшебное "сознание", судя по тому, о чем сейчас модно писать. Честнее было бы писать, что у нас есть такой черный ящик, из которого все получается, а что это за черный ящик - мы не знаем.